题目 在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且\[\dfrac{b}{(a+c)\sin A}=\dfrac{1}{\cos\left(B+\dfrac{3\pi}2\right)}.\] 问题1 求证：$\cos B=2\cos^2A-1$； 答案1 略 解析1 由正弦定理和诱导公式，可得\[\dfrac{\sin B}{\left(\sin A+\sin C\right)\cdot \sin A}=\dfrac{1}{\sin B},\]也即\[\sin^2B-\sin^2A=\sin A\cdot \sin C.\]根据三角平方差公式，有\[\sin^2B-\sin^2A=\sin(B+A)\cdot \sin(B-A),\]于是\[\sin (B-A)=\sin A,\]因此 $B=2A$，进而由二倍角公式可得\[\cos B=2\cos^2A-1.\] 备注1 问题2 若 $m<\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}<n$，求 $n-m$ 的最小值． 答案2 $\dfrac{2\sqrt 3-3}{3}$ 解析2 根据第 $(1)$ 小题的结果，有\[\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1-\tan^2A}{2\tan A}=\dfrac{1+\tan^2A}{2\tan A}=\dfrac{1}{\sin 2A}=\dfrac{1}{\sin B}.\]根据 $\triangle ABC $ 是锐角三角形，可得 $ B $ 的取值范围是 $ \left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right)$．因此 $\dfrac{1}{\sin B}$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)$，因此 $n-m$ 的最小值是 $\dfrac{2}{\sqrt 3}-1$． 备注2