$\Delta ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 满足 $\cos 3A+\cos 3B+\cos 3C\text{=}1$，三角形有两边长分别为 $10$ 与 $13$ 。设第三边的最大值为 $\sqrt{m}$，其中 $m$ 是正整数，求 $m$ 的值
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
399
【解析】
注意到 $\cos3C\text{=}-\cos \left( 3A+3B \right)$，则有 $\cos 3A+\cos 3B-\cos \left( 3A+3B \right)\text{=}1$ 。令 $\cos 3A\text{=}x\text{,}\cos 3B\text{=}y$ 。 $\cos \left( 3A+3B\right)\text{=}\cos 3A\cos 3B-\sin 3A\sin3B\text{=}xy-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\sqrt{1-{{y}^{2}}}$ 。则 $\sqrt{1-{{x}^{2}}}\sqrt{1-{{y}^{2}}}\text{=}xy-x-y+1\text{=}\left(x-1 \right)\left( y-1 \right)$ 。化简得 $\left( 1+x \right)\left( 1+y\right)\text{=}\left( 1-x \right)\left( 1-y \right)$ 。展开有 $1+x+y+xy\text{=}1-x-y+xy\to x+y\text{=}0$ 。所以 $\cos 3C\text{=}1$，$\angle C\text{=}{{0}^{{}^\circ}}\text{,}{{120}^{{}^\circ }}$，除去零的情况，再由余弦定理 $m\text{=}{{10}^{2}}+{{13}^{2}}-2\cdot10\cdot 13\cos \angle C\to m\text{=}269-260\cos {{120}^{{}^\circ }}\to m\text{=}269+130\text{=}399$
答案
解析
备注
