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记 $\triangle ABC$ 的三个内角为 $A,B,C$．试问：是否存在满足条件 $\cos A+\cos B=\cos C$ 的非等腰三角形？请给出证明．
【难度】
【出处】
2012年清华大学暑期学校学业水平测试试题
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    三角
    >
    解三角形
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    构造状态量
  • 题型
    >
    三角
    >
    解三角形
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    和差化积与积化和差公式
【答案】
存在
【解析】
由和差化积公式知$$2\cos\dfrac {A+B}2\cdot\cos\dfrac {A-B}2=\cos C=2\sin\dfrac C2\cdot\cos\dfrac {A-B}2,$$从而有$$\cos\dfrac {A-B}2=\dfrac 12\cdot\dfrac {\cos C}{\sin{\frac C2}},$$如果右式的值小于 $1$，且$$\cos\dfrac{A-B}2>\cos\dfrac{A+B}2=\sin\dfrac C2,$$即 $\cos C>\dfrac 12$，就可以解得满足题意的解．
比如，令 $\cos C=\dfrac 23$，此时$$\sin\dfrac C2=\dfrac {\sqrt 6}{6}=\cos\dfrac {A+B}2,$$而 $\cos\dfrac {A-B}2=\dfrac {\sqrt 6}3$，可解得 $\cos A=\dfrac {2-\sqrt{10}}{6}$，$\cos B=\dfrac {2+\sqrt{10}}{6}$，满意题意．
答案 解析 备注
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