设 $\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$，且 $a \cos C+\dfrac 12c=b$．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求角 $A$ 的大小；标注答案$A=\dfrac {\pi}{3}$解析由正弦定理得$$\sin A \cos C+\dfrac 12\sin C=\sin B,$$又因为 $\sin B=\sin (A+C)$，故原式变为$$\dfrac 12\sin C=\cos A\sin C,$$所以 $\cos A=\dfrac 12$，由 $A$ 为三角形内角，可知 $A=\dfrac {\pi}{3}$．
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若 $a=1$，求 $\triangle ABC$ 内切圆半径 $R$ 的最大值．标注答案$R_{\max}=\dfrac {\sqrt 3}{6}$解析因为$$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12(a+b+c)R,$$且$$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12bc\sin A=\dfrac {\sqrt 3}{4}bc,$$所以$$\dfrac {\sqrt 3}{4}bc=\dfrac {1+a+b}{2}R,$$即$$R=\dfrac {\sqrt 3}{2}\cdot \dfrac {bc}{1+b+c}.$$而由余弦定理得$$1=b^2+c^2-bc,$$可得$$bc=\dfrac {(b+c)^2-1}{3}.$$所以 $R=\dfrac {\sqrt 3}{6}(b+c-1)$，又因为 $bc \leqslant \left(\dfrac {b+c}{2}\right)^2$，所以$$\dfrac {(b+c)^2-1}{3}\leqslant \left(\dfrac {b+c}{2}\right)^2.$$所以，$0 \leqslant b+c \leqslant 2$，因此 $R \leqslant \dfrac {\sqrt 3}{6}$，$R_{\max}=\dfrac {\sqrt 3}{6}$，当且仅当 $b=c=1$ 时，即 $\triangle ABC$ 为等边三角形时取得．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
