题目 （$20$ 分）设 $x$、$y$ 均为非零实数，且满足 $\dfrac{x\sin \dfrac{\rm \pi}5+y\cos \dfrac {\rm \pi}5}{x\cos \dfrac{\rm \pi}5-y\sin \dfrac {\rm \pi}5}=\tan \dfrac{9{\rm \pi}}{20}$． 问题1 求 $\dfrac y x$ 的值； 答案1 由已知得 $\dfrac{\tan{\dfrac{\rm \pi}5}+\dfrac y x}{1-\dfrac y x\tan {\dfrac{\rm \pi}5}}=\tan \dfrac{9{\rm \pi}}{20}$．<br/>令 $\dfrac y x=\tan \theta$，则\[\dfrac{\tan{\dfrac{\rm \pi}5}+\tan \theta}{1-{\tan \theta} \tan{\dfrac{\rm \pi}5}}=\tan \dfrac{9\rm \pi}{20},\]即\[\tan\left(\theta+\dfrac{\rm \pi}5\right)=\tan \dfrac{9\rm \pi}{20}.\]所以 $\theta+\dfrac{\rm \pi}5=k{\rm \pi}+\dfrac{9\rm \pi}{20}$，即 $\theta=k{\rm \pi}+\dfrac{\rm \pi}4(k\in \mathbb Z)$．<br/>故\[\dfrac y x=\tan \theta=\tan\left(k{\rm \pi}+\dfrac{\rm \pi}4\right)=\tan \dfrac{\rm \pi}4=1.\] 解析1 备注1 问题2 在 $\triangle ABC$ 中，若 $\tan C=\dfrac y x$，求 $\sin 2A+2\cos B$ 的最大值． 答案2 由 $(1)$ 得 $\tan C=1$．<br/>因为 $0<C<{\rm \pi}$，所以 $C=\dfrac{\rm \pi}4$．从而，$A+B=\dfrac{3\rm \pi}4$，则 $2A=\dfrac{3\rm \pi}2-2B$．<br/>所以\[\begin{split}\sin 2A+2\cos B&=\sin\left(\dfrac{3\rm \pi}2-2B\right)+2\cos B\\&=-\cos 2B+2\cos B\\&=-2\cos^2B+2\cos B+1\\&=-2\left(\cos B-\dfrac 1 2\right)^2+\dfrac 3 2.\end{split}\]故当 $\cos B=\dfrac 1 2$，即 $B=\dfrac {\rm \pi}3$ 时，$\sin 2A+2\cos B$ 取得最大值为 $\dfrac 3 2$． 解析2 备注2