在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB=2,AC=1$，且 $\cos2A+2\sin^2\dfrac{B+C}{2}=1$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
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求角 $A$ 的大小和 $BC$ 边的长；标注答案$A=\dfrac{\pi}{3},BC=\sqrt3$解析因为 $\cos 2A+2\sin^2\dfrac{B+C}{2}=1$，所以$$\cos 2A-\cos(B+C)=0,$$即$$2\cos^2A+\cos A-1=0,$$解得 $\cos A=\dfrac12$ 或 $\cos A=-1$．
又 $A\in(0,\pi)$，所以 $A=\dfrac{\pi}{3}$．
由余弦定理，得$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A}=\sqrt{3}.$$ -
若点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内运动（含边界），且点 $P$ 到三边距离之和为 $d$．设点 $P$ 到边 $BC,CA$ 的距离分别为 $x,y$，试用 $x,y$ 表示 $d$，并求 $d$ 的取值范围．标注答案$d=\dfrac12[(2-\sqrt3)x+y+\sqrt3]$，范围为 $\left[\dfrac{\sqrt3}{2},\sqrt3\right]$解析设点 $P$ 到 $AB$ 边的距离为 $z$，则$$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle PBC}+S_{\triangle PCA}+S_{\triangle PAB}=\dfrac12(\sqrt3x+y+2z).$$又$$S_{\triangle ABC}=\dfrac12BC\cdot CA=\dfrac{\sqrt3}{2},$$所以$$\dfrac12(\sqrt3x+y+2z)=\dfrac{\sqrt3}{2},$$即$$z=\dfrac12(\sqrt3-\sqrt3x-y),$$故$$d=x+y+z=\dfrac12[(2-\sqrt3)x+y+\sqrt3].$$又 $x,y$ 满足$$\begin{cases}x,y\geqslant0,\\\dfrac12(\sqrt3-\sqrt3x-y)\geqslant0,\end{cases}$$所以 $d$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{\sqrt3}{2},\sqrt3\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
