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  三角

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  解三角形

略

因为$$b\cos C+\sqrt 3b\sin C-a-c=0,$$所以\[\sin B\cos C+\sqrt 3\sin B\sin C-\sin A-\sin C=0.\]又因为$$A+B+C=\pi,$$所以$$\sin A=\sin (B+C),$$故\[\sin B\cos C+\sqrt 3\sin B\sin C-\sin (B+C)-\sin C=0,\]化简得$$(\sqrt 3\sin B-\cos B-1)\sin C=0.$$又 $0<C<\pi$，所以 $\sin C>0$，故\[\sqrt 3\sin B-\cos B-1=0,\]即$$2\sin \left(B-\dfrac{\pi}{6}\right)=1.$$因为 $0<B<\pi$，所以 $B=\dfrac{\pi}{3}$．
又 $A+B+C=\pi$，所以$$A+C=\dfrac{2\pi}{3}=2B,$$从而 $A,B,C$ 成等差数列．

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$2\sqrt 7$

由正弦定理$$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C},$$得\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{\sqrt 3}{\dfrac{\sqrt 3}{2}},\]所以$$2a+c=4\sin A+2\sin C.$$因为 $B=\dfrac{\pi}{3}$，所以 $C=\dfrac{2\pi}{3}-A$，于是\[\begin{split} 2a+c & =4\sin A+2\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}-A\right)\\&=4\sin A+2\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\cos A+\dfrac{1}{2}\sin A\right)\\&=5\sin A+\sqrt 3\cos A\\&=2\sqrt 7\left(\sin A\cdot \dfrac{5\sqrt 7}{14}+\cos A\cdot \dfrac{\sqrt{21}}{14}\right)\\&=2\sqrt 7\sin (A+\varphi)\leqslant 2\sqrt 7,\end{split}\]所以其中锐角 $\varphi$ 满足$$\sin \varphi=\dfrac{\sqrt {21}}{14} , \cos\varphi=\dfrac{5\sqrt 7}{14},$$因此 $A\in\left(0,\dfrac{2\pi}{3}\right)$，所以当 $A$ 为 $\varphi$ 的余角，即$$2\sqrt 7\sin (A+\varphi)=2\sqrt 7$$时，$2a+c$ 取最大值 $2\sqrt 7$．