题目 $\triangle ABC$ 中，$A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c,\tan C=\dfrac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B},\sin(B-A)=\cos C$． 问题1 求 $A,C$； 答案1 $A=\dfrac{\pi}{4},C=\dfrac{\pi}{3}$ 解析1 因为 $\tan C=\dfrac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}$，即 $\dfrac{\sin C}{\cos C}=\dfrac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}$，所以 $\sin C\cos A+\sin C\cos B=\cos C\sin A+\cos C\sin B$，即 $\sin C\cos A-\cos C\sin A=\cos C\sin B-\sin C\cos B$，得 $\sin(C-A)=\sin(B-C)$．所以 $C-A=B-C$，或 $C-A=\pi-(B-C)$（不成立）．即 $2C=A+B$，得 $C=\dfrac{\pi}{3}$，所以 $B+A=\dfrac{2\pi}{3}$．又因为 $\sin(B-A)=\cos C=\dfrac{1}{2}$，则 $B-A=\dfrac{\pi}{6}$，或 $B-A=\dfrac{5\pi}{6}$（舍去）．得 $A=\dfrac{\pi}{4},B=\dfrac{5\pi}{12},C=\dfrac{\pi}{3}$． 备注1 问题2 若 $S_{\triangle ABC}=3+\sqrt{3}$，求 $a,c$． 答案2 $a=2\sqrt{2},c=2\sqrt{3}$ 解析2 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}ac=3+\sqrt{3}$，又 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$，即 $\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{c}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$，得 $a=2\sqrt{2},c=2\sqrt{3}$． 备注2