题目 在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=8$，记 $\angle BAC=\theta$，$\triangle ABC$ 的面积为 $S$，且满足 $4(2-\sqrt 3) \leqslant S \leqslant 4\sqrt 3$． 问题1 求 $\theta$ 的取值范围； 答案1 $\left[\dfrac {\pi}{12},\dfrac {\pi}{3}\right]$ 解析1 因为 $\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=8$，所以$$\left|\overrightarrow {AB}\right|\cdot \left|\overrightarrow {AC}\right|\cos \theta=8.$$又因为$$4(2-\sqrt 3) \leqslant \dfrac 12\left|\overrightarrow {AB}\right|\cdot \left|\overrightarrow {AC}\right|\sin \theta \leqslant 4\sqrt 3,$$所以$$2-\sqrt 3 \leqslant \tan \theta \leqslant \sqrt 3.$$注意到 $0<\theta <\pi$，故 $\theta$ 的取值范围是 $\left[\dfrac {\pi}{12},\dfrac {\pi}{3}\right]$． 备注1 问题2 求函数 $f(\theta)=2\sqrt 3\sin ^2\left(\dfrac {\pi}{4}+\theta\right)+2\cos^2\theta-\sqrt 3$ 的最大值和最小值． 答案2 $\theta=\dfrac {\pi}{6}$ 时，$f(\theta)_{\max}=3$；$\theta=\dfrac {\pi}{3}$ 时，$f(\theta)_{\min}=2$ 解析2 因为\[\begin{split}f(\theta)&=2\sqrt 3\sin ^2\left(\dfrac {\pi}{4}+\theta\right)+2\cos^2\theta-\sqrt 3\\&=\sqrt 3\sin 2\theta+\cos 2\theta+1\\&=2\sin \left(2\theta+\dfrac {\pi}{6}\right)+1,\end{split}\]而 $\dfrac {\pi}{12}\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi}{3}$，所以$$\dfrac {\pi}{3}\leqslant 2\theta+\dfrac {\pi}{6} \leqslant \dfrac {5\pi}{6},$$故当 $ 2\theta+\dfrac {\pi}{6} = \dfrac { \pi}{2}$，即 $\theta=\dfrac {\pi}{6}$ 时，$f(\theta)_{\max}=3$；<br/>当 $ 2\theta+\dfrac {\pi}{6} = \dfrac {5 \pi}{6}$，即 $\theta=\dfrac {\pi}{3}$ 时，$f(\theta)_{\min}=2$． 备注2