如图所示，$AB$ 为 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 的斜边，$I$ 为其内心．若 $\triangle IAB$ 的外接圆的半径为 $R$，$\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 的内切圆半径为 $r$，求证：$R\geqslant(2+\sqrt2)r$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛湖南省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
在 $\triangle IAB$ 中，$$\angle AIB=180^\circ-\dfrac12(\angle CAB+\angle CBA)=135^\circ.$$由正弦定理，得$$R=\dfrac{AB}{2\sin\angle AIB}=\dfrac{\sqrt2}{2}AB.$$在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，设 $\angle BAC=\theta(0^\circ<\theta<90^\circ)$，则内切圆半径$$r=\dfrac12(AC+BC-AB)=\dfrac12AB(\cos\theta+\sin\theta-1),$$于是$$R=\dfrac{\sqrt2}{2}AB=\dfrac{\sqrt2r}{\cos\theta+\sin\theta-1}=\dfrac{\sqrt2r}{\sqrt2\sin(45^\circ+\theta)-1}.$$因为 $0^\circ<\theta<90^\circ$，所以$$\dfrac{\sqrt2}{2}<\sin(45^\circ+\theta)\leqslant1,$$因此$$R=\dfrac{\sqrt2r}{\sqrt2\sin(45^\circ+\theta)-1}\geqslant\dfrac{\sqrt2r}{\sqrt2-1}=(2+\sqrt2)r.$$
答案
解析
备注
