在非等腰 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，且满足 $(2c-b)\cos C=(2b-c)\cos B$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
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求角 $A$ 的大小；标注答案$60^{\circ}$解析因为\[(2c-b)\cos C=(2b-c)\cos B,\]所以\[(2\sin C-\sin B)\cos C=(2\sin B-\sin C)\cos B,\]则\[\sin 2C-\sin 2B=\sin(B-C),\]所以\[2\cos(C+B)\sin(C-B)=\sin(B-C).\]因为 $\triangle ABC$ 不是等腰三角形，所以 $\sin(B-C)\ne 0$，则 $\cos(C+B)=-\dfrac 1 2$，所以 $C+B=120^\circ$，因此 $A=60^\circ$．
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若 $a=4$，求 $\triangle ABC$ 面积的取值范围．标注答案$\left(0,4\sqrt 3\right)$解析
方法一 根据余弦定理\[a^2=b^2+c^2-2bc \cos A,\]有\[16=b^2+c^2-bc.\]因为 $b^2+c^2\geqslant 2bc$（当且仅当 $b=c$ 时不等式取等号），所以\[16=b^2+c^2-bc\geqslant 2bc-bc=bc,\]即 $bc\leqslant 16$，所以 $\triangle ABC$ 的面积\[S=\dfrac 1 2 bc \sin A=\dfrac{\sqrt 3}4 bc\leqslant 4\sqrt 3,\]当 $a=b=c=4$ 时等号取到，又因为 $\triangle ABC$ 不是等腰三角形，所以 $S<4\sqrt 3$．
又显然 $S>0$，所以 $\triangle ABC$ 的面积的取值范围是 $\left(0,4\sqrt 3\right)$．方法二 由正弦定理得：\[\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin B}=\dfrac c{\sin C}=\dfrac 8{\sqrt 3},\]所以\[b=\dfrac 8{\sqrt 3} \sin B,c=\dfrac 8 {\sqrt 3}\sin C,\]所以\[\begin{split}S&=\dfrac 1 2bc\sin A=\dfrac{16}{\sqrt 3}\sin B \sin C\\&=\dfrac{16}{\sqrt 3}\sin B \sin(120^\circ -B)\\&=\dfrac{8\sqrt 3}3\sin(2B-30^\circ)+\dfrac{4\sqrt 3}3,\end{split}\]$B\in(0^\circ, 120^\circ)$，所以 $S \in\left(0,4\sqrt 3\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
