序号 | ID | 年级 | 类型 | 来源 | 摘要 | 创建时间 |
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19418 | 5d367c58210b28021fc78ab0 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设整数 $m\geqslant 2$,$a$ 为正实数,$b$ 为非零实数,数列 $\{x_n\}$ 定义如下:$x_{1}=b, x_{n+1}=a x_{n}^{m}+b, n=1,2, \cdots$.证明: (1)当 $b<0$ 且 $m$ 为偶数时,数列 $\{x_n\}$ 有界的充要条件是 $a b^{m-1} \geqslant-2$; (2)当 $b<0$ 且 $m$ 为奇数,或 $b>0$ 时,数列 $\{x_n\}$ 有界的充要条件是 $a b^{m-1} \leqslant \dfrac{(m-1)^{m-1}}{m^{m}}.$ |
2022-04-17 19:25:50 |
19417 | 5d36980e210b280220ed6726 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 在一直线上相邻两点的距离都等于 $1$ 的四个点上各有一只青蛙,允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中 心跳到其对称点上. 证明:无论跳动多少次后,四只青蛙所在的点中相邻两点 之间的距离不能都等于 $ 2008$. |
2022-04-17 19:25:50 |
19416 | 5d369947210b28021fc78ac5 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $x, y, z \in(0,1)$,满足:$\sqrt{\dfrac{1-x}{y z}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{z x}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{x y}}=2$.求 $xyz$ 的最大值. | 2022-04-17 19:24:50 |
19415 | 5d369da2210b280220ed6738 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $n$ 为给定的正整数,求最大的正整数 $k$,使得存在三个由非负整数组成的 $k$ 元集 $A=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\right\}, B=\left\{y_{1}\right.$ $y_{2}, \cdots, y_{k} \}$ 和 $C=\left\{z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{k}\right\}$ 满足:对任意 $1 \leqslant j \leqslant k$,都有 $x_{j}+y_{j}+z_{j}=n$. | 2022-04-17 19:23:50 |
19414 | 5d36a191210b280220ed674c | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $P$ 为正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 内的任意一点,直线 $A_{i} P$ 交 正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 的边界于另一点 $B_{i}, i=1,2, \cdots, n$. 证明:$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} P A_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} P B_{i}$. |
2022-04-17 19:23:50 |
19413 | 5d36d18f210b280220ed6798 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 证明:若 $k$ 是四次方程\begin{equation} x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1=0 \end{equation}那么 $k^{-1}$ 也是该方程的一个根. 设方程(1)中的 $a,b$ 都是实数,并且四个解也都是实数. (i)若(1)只有一个根,写出 $a,b$ 的取值. (ii)若(1)恰好有三个根,证明 $b$ 要么等于 $2a-2$,要么等于 $-2a-2$. (iii)设 $b=2a-2$,将(1)解出来,并用 $a$ 表示三个根. 找出(1)恰有三个实根的充要条件. |
2022-04-17 19:22:50 |
19412 | 5d36d221210b28021fc78b09 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 若一个定义在 $(a,b)$ 上的函数满足对任意 $a<x_1 , x_2 < b$ 和任意 $0\leqslant t\leqslant 1$ 都有$$tf(x_1 )+(1-t)f(x_2 )\leqslant f(tx_1 + (1-t)x_2 )$$那么我们称这个函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上是上凸的. 请简单图示这个定义所表示的内容,并在 $x_1 < x_2$ 且 $f(x_1 )<f(x_2 )$ 的情况下画出连接 $(x_1 , f(x_1 ))$ 和 $(x_2 , f(x_2 ))$ 的这根弦. 请简单解释为什么若函数 $f(x)$ 满足在 $(a,b)$ 上都有 $f''(x)<0$,那么 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上是上凸的. (i)选取适当的 $t,x_1 ,x_2$,证明若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上是上凸的,那么对任何 $a<u,v,w<b$,$$f\left(\frac{u+v+w}{3}\right)\geqslant\frac{f(u)+f(v)+f(w)}{3}$$都成立. (ii)证明对任何三角形的三个角 $A,B,C$,我们都有$$\sin A+\sin B+\sin C\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}$$(iii)考虑函数 $\ln (\sin (x))$,若 $A,B,C$ 是某个三角形的三个角,那我们有$$\sin A\times \sin B\times\sin C\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{8}$$ |
2022-04-17 19:22:50 |
19411 | 5d36d342210b28021fc78b0f | 高中 | 解答题 | 高中习题 | (i)令$$f(x)=\frac{1}{1+\tan x}$$是一个 $0\leqslant x<\frac{1}{2}\pi$ 上的函数. 证明 $f'(x)=-\frac{1}{1+\sin 2x}$,并写出 $f'(x)$ 的范围. 画出曲线 $y=f(x)$ 的大致图像. (ii)设函数 $g(x)$ 在 $-1\leqslant x\leqslant 1$ 上是连续的,证明:$g(x)$ 关于点 $(a,b)$ 是二次旋转对称的当且仅当$$g(x)+g(2a-x)=2b$$假设曲线 $y=g(x)$ 过原点,并且关于原点二次旋转对称,写出积分 $\int_{-1}^{1}g(x)\mathrm{d}x$ 的值. (iii)证明曲线 $y=\frac{1}{1+\tan^k x}$ 关于某个点(需要你找出来)是二次旋转对称的,其中 $k$ 是一个正的常数,$0<x<\frac{1}{2}\pi$.计算$$\int_{\frac{1}{6}\pi}^{\frac{1}{3}\pi}\frac{1}{1+\tan^k x}\mathrm{d}x$$ |
2022-04-17 19:22:50 |
19410 | 5d36d57e210b28021fc78b16 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 本题中我们可以使用下面这个和差化积公式:$$\cos A+\cos B=2 \cos \frac{1}{2}(A+B) \cos \frac{1}{2}(A-B)$$(i)若 $0\leqslant x\leqslant 2\pi$,找出所有满足如下方程的 $x$:$$\cos x+3 \cos 2 x+3 \cos 3 x+\cos 4 x=0$$(ii)若 $0\leqslant x\leqslant \pi$,$0\leqslant y\leqslant \pi$ 满足$$\cos (x+y)+\cos (x-y)-\cos 2 x=1$$证明要么 $x=y$,要么 $x$ 只能取某一个特定的值(需要你找出来). (iii)若 $0\leqslant x\leqslant \pi$,$0\leqslant y\leqslant \pi$,找出满足如下方程的所有 $x,y$ 的解:$$\cos x + \cos y -\cos (x+y)=\frac{3}{2}$$ |
2022-04-17 19:21:50 |
19409 | 5d36d5d1210b280220ed67a3 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 本题中不需要考虑各种收敛性的问题: (i)写出 $\frac{1}{1+x}$ 在 $|x|<1$ 时的二项式展开,并由此证明在 $|x|<1$ 上我们都有$$\ln (1+x)=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-x)^{n}}{n}$$(ii)写出函数 $e^{-ax}$ 关于 $x$ 的幂级数展开,并由此证明:$$\int_{0}^{\infty} \frac{\left(1-e^{-a x}\right) e^{-x}}{x} \mathrm{d} x=\ln (1+a) \quad(|a|<1)$$(iii)计算如下积分:$$\int_{0}^{1} \frac{x^{p}-x^{q}}{\ln x} \mathrm{d} x \quad(|p|<1,|q|<1)$$ |
2022-04-17 19:20:50 |
19408 | 5d36d6c1210b28021fc78b1d | 高中 | 解答题 | 高中习题 | (i)找出所有满足下式的正整数对 $(n,p)$:$$n!+5=p$$且 $p$ 是一个素数. (ii)这一问你可以使用如下两个定理: $\quad$ 1.对任何 $n\geqslant 7$,我们都有 $1 ! \times 3 ! \times \ldots \times(2 n-1) !>(4 n) !$. $\quad$ 2.对任何正整数 $n$,$2n$ 到 $4n$ 间一定存在素数. 找出所有满足方程$$1 ! \times 3 ! \times \cdots \times(2 n-1) !=m !$$的正整数对 $(n,m)$. |
2022-04-17 19:19:50 |
19407 | 5d36d71f210b280220ed67ab | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 点 $O,A,B$ 是一个锐角三角形的三个定点,$M,N$ 分别落在边 $OA,OB$ 上,且 $AN,BM$ 交于点 $Q$.记 $\overrightarrow{OA}$ 为 $\textbf{a}$,其余符号类推. 设 $|MQ|=\mu|QB|$,$|NQ|=\nu|QA|$,其中 $\mu,\nu>0$ 且 $\mu\nu<1$,证明$$\textbf{m}=\frac{(1+\mu)\nu}{1+\nu}\textbf{a}$$设点 $L$ 落在边 $OB$ 上,且满足 $|OL|=\lambda|OB|$.设 $ML$ 平行于 $AN$,写出这个时 $\lambda$ 关于 $\mu$ 和 $\nu$ 的表达式. 说明条件 $\mu\nu<1$ 的几何意义是什么? |
2022-04-17 19:19:50 |
19406 | 5d36d7a4210b280220ed67b2 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | (i)使用变量替换 $v=\sqrt{y}$ 解微分方程$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\alpha y^{\frac{1}{2}}-\beta y \quad(y \geqslant 0, t \geqslant 0)$$其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是正的常数.写出一个满足 $y_1 (0)=0$ 的非常数解 $y_1$. (ii)解微分方程$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\alpha y^{\frac{2}{3}}-\beta y \quad(y \geqslant 0, t \geqslant 0)$$其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是正的常数.写出一个满足 $y_2 (0)=0$ 的非常数解 $y_2$. (iii)在 $\alpha=\beta$ 的情况下,在同一个坐标平面上画出并标明 $y_1 (x)$ 和 $y_2 (x)$ 的图像,另外解释一下两根曲线的位置关系是怎样确立的. |
2022-04-17 19:18:50 |
19405 | 5d36abfa210b280220ed6769 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $n$ 是给定的正整数,$n \geqslant 2, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in(0,1)$.求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt[6]{a_{i}\left(1-a_{i+1}\right)}$ 的最大值,这里 $a_{n+1}=a_{1}$. | 2022-04-17 19:17:50 |
19404 | 5d36ad1e210b280220ed6774 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 求满足下述条件的最小正实数 $k$:对任意不小于 $k$ 的 $4$ 个互不相同的实数 $a、b、c、d$,都存在 $a、b、c、d$ 的一个排列 $p、q、r、s$,使得方程 $\left(x^{2}+p x+q\right)\left(x^{2}+r x+s\right)=0$ 有 $4$ 个互不相同的实数根. | 2022-04-17 19:16:50 |
19403 | 5d36b1d2210b280220ed677f | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 如图![]() (1)求证:$BF$ 是 $\angle PBC$ 的角平分线; (2)求 $\tan\angle PCB$ 的值. |
2022-04-17 19:16:50 |
19402 | 5d36d8a1210b28021fc78b27 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设正整数 $a$ 不是完全平方数,求证:对每一个正整数 $n$,$S_{n}=\{\sqrt{a}\}+\{\sqrt{a}\}^{2}+\cdots+\{\sqrt{a}\}^{n}$ 的值都是无理数这里 $\{x\}=x-[x]$,其中 $[x]$ 式表示不超过 $x$ 的最大整数. | 2022-04-17 19:16:50 |
19401 | 5d36e843210b28021fc78b3b | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $S=\{n | n-1, n, n+1$ 都可以表示为两个正整数的平方和 $\}$.证明:若 $n\in S$,则 $n^2\in S$. | 2022-04-17 19:15:50 |
19400 | 5d37c07c210b280220ed67d0 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 如图![]() |
2022-04-17 19:15:50 |
19399 | 5d37c2ee210b28021fc78b4e | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $k$ 是一个不小于 $3$ 的正整数,$\theta$ 是一个实数.证明:如果 $\cos (k-1) \theta$ 和 $\cos k \theta$ 都是有理数,那么存在正整数 $n>k$,使得 $\cos (n-1) \theta$ 和 $\cos n \theta$ 都是有理数. | 2022-04-17 19:14:50 |