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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19418 5d367c58210b28021fc78ab0 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $m\geqslant 2$，$a$ 为正实数，$b$ 为非零实数，数列 $\{x_n\}$ 定义如下：$x_{1}=b, x_{n+1}=a x_{n}^{m}+b, n=1,2, \cdots$．证明：
（1）当 $b<0$ 且 $m$ 为偶数时，数列 $\{x_n\}$ 有界的充要条件是 $a b^{m-1} \geqslant-2$；
（2）当 $b<0$ 且 $m$ 为奇数，或 $b>0$ 时，数列 $\{x_n\}$ 有界的充要条件是 $a b^{m-1} \leqslant \dfrac{(m-1)^{m-1}}{m^{m}}.$		 2022-04-17 19:25:50
19417 5d36980e210b280220ed6726 高中 解答题 自招竞赛 在一直线上相邻两点的距离都等于 $1$ 的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中 心跳到其对称点上．
证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点 之间的距离不能都等于 $ 2008$．		 2022-04-17 19:25:50
19416 5d369947210b28021fc78ac5 高中 解答题 自招竞赛 设 $x, y, z \in(0,1)$，满足：$\sqrt{\dfrac{1-x}{y z}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{z x}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{x y}}=2$．求 $xyz$ 的最大值． 2022-04-17 19:24:50
19415 5d369da2210b280220ed6738 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为给定的正整数，求最大的正整数 $k$，使得存在三个由非负整数组成的 $k$ 元集 $A=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\right\}, B=\left\{y_{1}\right.$ $y_{2}, \cdots, y_{k} \}$ 和 $C=\left\{z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{k}\right\}$ 满足：对任意 $1 \leqslant j \leqslant k$，都有 $x_{j}+y_{j}+z_{j}=n$． 2022-04-17 19:23:50
19414 5d36a191210b280220ed674c 高中 解答题 自招竞赛 设 $P$ 为正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 内的任意一点，直线 $A_{i} P$ 交 正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 的边界于另一点 $B_{i}, i=1,2, \cdots, n$．
证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} P A_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} P B_{i}$．		 2022-04-17 19:23:50
19413 5d36d18f210b280220ed6798 高中 解答题 高中习题 证明：若 $k$ 是四次方程\begin{equation}
x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1=0
\end{equation}那么 $k^{-1}$ 也是该方程的一个根．
设方程（1）中的 $a,b$ 都是实数，并且四个解也都是实数．
（i）若（1）只有一个根，写出 $a,b$ 的取值．
（ii）若（1）恰好有三个根，证明 $b$ 要么等于 $2a-2$，要么等于 $-2a-2$．
（iii）设 $b=2a-2$，将（1）解出来，并用 $a$ 表示三个根．
找出（1）恰有三个实根的充要条件．		 2022-04-17 19:22:50
19412 5d36d221210b28021fc78b09 高中 解答题 高中习题 若一个定义在 $(a,b)$ 上的函数满足对任意 $a<x_1 , x_2 < b$ 和任意 $0\leqslant t\leqslant 1$ 都有$$tf(x_1 )+(1-t)f(x_2 )\leqslant f(tx_1 + (1-t)x_2 )$$那么我们称这个函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上是上凸的．
请简单图示这个定义所表示的内容，并在 $x_1 < x_2$ 且 $f(x_1 )<f(x_2 )$ 的情况下画出连接 $(x_1 , f(x_1 ))$ 和 $(x_2 , f(x_2 ))$ 的这根弦．
请简单解释为什么若函数 $f(x)$ 满足在 $(a,b)$ 上都有 $f''(x)<0$，那么 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上是上凸的．
（i）选取适当的 $t,x_1 ,x_2$，证明若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上是上凸的，那么对任何 $a<u,v,w<b$，$$f\left(\frac{u+v+w}{3}\right)\geqslant\frac{f(u)+f(v)+f(w)}{3}$$都成立．
（ii）证明对任何三角形的三个角 $A,B,C$，我们都有$$\sin A+\sin B+\sin C\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}$$（iii）考虑函数 $\ln (\sin (x))$，若 $A,B,C$ 是某个三角形的三个角，那我们有$$\sin A\times \sin B\times\sin C\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{8}$$		 2022-04-17 19:22:50
19411 5d36d342210b28021fc78b0f 高中 解答题 高中习题 （i）令$$f(x)=\frac{1}{1+\tan x}$$是一个 $0\leqslant x<\frac{1}{2}\pi$ 上的函数．
证明 $f'(x)=-\frac{1}{1+\sin 2x}$，并写出 $f'(x)$ 的范围．
画出曲线 $y=f(x)$ 的大致图像．
（ii）设函数 $g(x)$ 在 $-1\leqslant x\leqslant 1$ 上是连续的，证明：$g(x)$ 关于点 $(a,b)$ 是二次旋转对称的当且仅当$$g(x)+g(2a-x)=2b$$假设曲线 $y=g(x)$ 过原点，并且关于原点二次旋转对称，写出积分 $\int_{-1}^{1}g(x)\mathrm{d}x$ 的值．
（iii）证明曲线 $y=\frac{1}{1+\tan^k x}$ 关于某个点（需要你找出来）是二次旋转对称的，其中 $k$ 是一个正的常数，$0<x<\frac{1}{2}\pi$．计算$$\int_{\frac{1}{6}\pi}^{\frac{1}{3}\pi}\frac{1}{1+\tan^k x}\mathrm{d}x$$		 2022-04-17 19:22:50
19410 5d36d57e210b28021fc78b16 高中 解答题 高中习题 本题中我们可以使用下面这个和差化积公式：$$\cos A+\cos B=2 \cos \frac{1}{2}(A+B) \cos \frac{1}{2}(A-B)$$（i）若 $0\leqslant x\leqslant 2\pi$，找出所有满足如下方程的 $x$：$$\cos x+3 \cos 2 x+3 \cos 3 x+\cos 4 x=0$$（ii）若 $0\leqslant x\leqslant \pi$，$0\leqslant y\leqslant \pi$ 满足$$\cos (x+y)+\cos (x-y)-\cos 2 x=1$$证明要么 $x=y$，要么 $x$ 只能取某一个特定的值（需要你找出来）．
（iii）若 $0\leqslant x\leqslant \pi$，$0\leqslant y\leqslant \pi$，找出满足如下方程的所有 $x,y$ 的解：$$\cos x + \cos y -\cos (x+y)=\frac{3}{2}$$		 2022-04-17 19:21:50
19409 5d36d5d1210b280220ed67a3 高中 解答题 高中习题 本题中不需要考虑各种收敛性的问题：
（i）写出 $\frac{1}{1+x}$ 在 $|x|<1$ 时的二项式展开，并由此证明在 $|x|<1$ 上我们都有$$\ln (1+x)=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-x)^{n}}{n}$$（ii）写出函数 $e^{-ax}$ 关于 $x$ 的幂级数展开，并由此证明：$$\int_{0}^{\infty} \frac{\left(1-e^{-a x}\right) e^{-x}}{x} \mathrm{d} x=\ln (1+a) \quad(|a|<1)$$（iii）计算如下积分：$$\int_{0}^{1} \frac{x^{p}-x^{q}}{\ln x} \mathrm{d} x \quad(|p|<1,|q|<1)$$		 2022-04-17 19:20:50
19408 5d36d6c1210b28021fc78b1d 高中 解答题 高中习题 （i）找出所有满足下式的正整数对 $(n,p)$：$$n!+5=p$$且 $p$ 是一个素数．
（ii）这一问你可以使用如下两个定理：
$\quad$ 1．对任何 $n\geqslant 7$，我们都有 $1 ! \times 3 ! \times \ldots \times(2 n-1) !>(4 n) !$．
$\quad$ 2．对任何正整数 $n$，$2n$ 到 $4n$ 间一定存在素数．
找出所有满足方程$$1 ! \times 3 ! \times \cdots \times(2 n-1) !=m !$$的正整数对 $(n,m)$．		 2022-04-17 19:19:50
19407 5d36d71f210b280220ed67ab 高中 解答题 高中习题 点 $O,A,B$ 是一个锐角三角形的三个定点，$M,N$ 分别落在边 $OA,OB$ 上，且 $AN,BM$ 交于点 $Q$．记 $\overrightarrow{OA}$ 为 $\textbf{a}$，其余符号类推．
设 $|MQ|=\mu|QB|$，$|NQ|=\nu|QA|$，其中 $\mu,\nu>0$ 且 $\mu\nu<1$，证明$$\textbf{m}=\frac{(1+\mu)\nu}{1+\nu}\textbf{a}$$设点 $L$ 落在边 $OB$ 上，且满足 $|OL|=\lambda|OB|$．设 $ML$ 平行于 $AN$，写出这个时 $\lambda$ 关于 $\mu$ 和 $\nu$ 的表达式．
说明条件 $\mu\nu<1$ 的几何意义是什么？		 2022-04-17 19:19:50
19406 5d36d7a4210b280220ed67b2 高中 解答题 高中习题 （i）使用变量替换 $v=\sqrt{y}$ 解微分方程$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\alpha y^{\frac{1}{2}}-\beta y \quad(y \geqslant 0, t \geqslant 0)$$其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是正的常数．写出一个满足 $y_1 (0)=0$ 的非常数解 $y_1$．
（ii）解微分方程$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\alpha y^{\frac{2}{3}}-\beta y \quad(y \geqslant 0, t \geqslant 0)$$其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是正的常数．写出一个满足 $y_2 (0)=0$ 的非常数解 $y_2$．
（iii）在 $\alpha=\beta$ 的情况下，在同一个坐标平面上画出并标明 $y_1 (x)$ 和 $y_2 (x)$ 的图像，另外解释一下两根曲线的位置关系是怎样确立的．		 2022-04-17 19:18:50
19405 5d36abfa210b280220ed6769 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是给定的正整数，$n \geqslant 2, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in(0,1)$．求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt[6]{a_{i}\left(1-a_{i+1}\right)}$ 的最大值，这里 $a_{n+1}=a_{1}$． 2022-04-17 19:17:50
19404 5d36ad1e210b280220ed6774 高中 解答题 自招竞赛 求满足下述条件的最小正实数 $k$：对任意不小于 $k$ 的 $4$ 个互不相同的实数 $a、b、c、d$，都存在 $a、b、c、d$ 的一个排列 $p、q、r、s$，使得方程 $\left(x^{2}+p x+q\right)\left(x^{2}+r x+s\right)=0$ 有 $4$ 个互不相同的实数根． 2022-04-17 19:16:50
19403 5d36b1d2210b280220ed677f 高中 解答题 自招竞赛 如图在 $\triangle PBC$ 中，$\angle PBC = 60^\circ$，过点 $P$ 作 $\triangle PBC$ 的外接圆 $\omega$ 的切线，与 $CB$ 的延长线交于点 $A$．点 $D$ 和 $E$ 分别在线段 $PA$ 和圆 $\omega$ 上，使得 $\angle D B E=90^{\circ}, P D=P E$．连接 $BE$，与 $PC$ 相交于点 $F$．已知 $AF、BP、CD$ 三线共点．
（1）求证：$BF$ 是 $\angle PBC$ 的角平分线；
（2）求 $\tan\angle PCB$ 的值．		 2022-04-17 19:16:50
19402 5d36d8a1210b28021fc78b27 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $a$ 不是完全平方数，求证：对每一个正整数 $n$，$S_{n}=\{\sqrt{a}\}+\{\sqrt{a}\}^{2}+\cdots+\{\sqrt{a}\}^{n}$ 的值都是无理数这里 $\{x\}=x-[x]$，其中 $[x]$ 式表示不超过 $x$ 的最大整数． 2022-04-17 19:16:50
19401 5d36e843210b28021fc78b3b 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\{n | n-1, n, n+1$ 都可以表示为两个正整数的平方和 $\}$．证明：若 $n\in S$，则 $n^2\in S$． 2022-04-17 19:15:50
19400 5d37c07c210b280220ed67d0 高中 解答题 自招竞赛 如图$AB$ 是圆 $O$ 的直径，$C$ 为 $AB$ 延长线上的一点，过点 $C$ 作圆 $O$ 的割线，与圆 $O$ 交于 $D、E$ 两点，$OF$ 是 $\triangle BOD$ 的外接圆 $O_1$ 的直径，连接 $ CF$ 并延长交圆 $O_1$ 于点 $G$．求证：$O、A、E,G$ 四点共圆． 2022-04-17 19:15:50
19399 5d37c2ee210b28021fc78b4e 高中 解答题 自招竞赛 设 $k$ 是一个不小于 $3$ 的正整数，$\theta$ 是一个实数．证明：如果 $\cos (k-1) \theta$ 和 $\cos k \theta$ 都是有理数，那么存在正整数 $n>k$，使得 $\cos (n-1) \theta$ 和 $\cos n \theta$ 都是有理数． 2022-04-17 19:14:50
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