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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19398 5d37c405210b280220ed67e7 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n(\geqslant 2)$，求 $|X|$ 的最小值，使得对集一合 $X$ 的任意 $n$ 个二元子集 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$，都存在集合 $X$ 的一个子集 $Y$，满足：
（1）$|Y|=n$；
（2）对 $i=1,2, \cdots, n$，都有 $\left|Y \cap B_{i}\right| \leqslant 1$．
这里 $|A|$ 表示有限集合 $A$ 的元素个数．		 2022-04-17 19:14:50
19397 5d37cbd1210b28021fc78b71 高中 解答题 自招竞赛 已知 $T= \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，对于 $A \subseteq T, A\ne\varnothing$，定义 $S(A)$ 为 $A$ 中所有元素之和，问：$T$ 有多少个非空子集 $A$，使得 $S(A)$ 为 $3$ 的倍数，但不是 $5$ 的倍数？ 2022-04-17 19:13:50
19396 5d37d155210b280220ed6816 高中 解答题 自招竞赛 如图$\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 相交于点 $C、D$，过点 $D$ 的一条直线分别与 $\odot O_1,\odot O_2$ 相交于点 $A、B$，点 $P$ 在 $\odot O_1$ 的弧 $AD$ 上，$PD$ 与线段 $AC$ 的延长线交于点 $M$，点 $Q$ 在 $\odot O_2$ 的弧 $BD$ 上，$QD$ 与线段 $BC$ 的延长线交于点 $N$．$O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心．求证：$OD\bot MN$ 的充要条件为 $P,Q,M,N$ 四点共圆． 2022-04-17 19:12:50
19395 5d37e53d210b280220ed6826 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a、b、c$ 满足 $a+b+c =3$．求证：$\dfrac{1}{5 a^{2}-4 a+11}+\dfrac{1}{5 b^{2}-4 b+11}+\dfrac{1}{5 c^{2}-4 c+11} \leqslant \dfrac{1}{4}$． 2022-04-17 19:11:50
19394 5d37eb8d210b280220ed6842 高中 解答题 自招竞赛 设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 内部一点证明：存在正整数 $p、q、r$ 使得 $|p \cdot \overrightarrow{O A}+q \cdot \overrightarrow{O B}+r \cdot \overrightarrow{O C}|<\dfrac{1}{2007}$． 2022-04-17 19:11:50
19393 5d37fb34210b28021fc78bb8 高中 解答题 自招竞赛 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为 $2007$，且最大的角等于最小角的两倍？ 2022-04-17 19:11:50
19392 5d37fd48210b280220ed6872 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正整数 $n$，使得存在非零整数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$，满足 $\left\{\begin{array}{l}{x_{1}+\cdots+x_{n}=0} \\ {x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=n y^{2}}\end{array}\right.$ 2022-04-17 19:10:50
19391 5d3801bd210b280220ed6881 高中 解答题 自招竞赛 设 $P$ 是锐角三角形 $ABC$ 内一点，$AP、BP、CP$ 分别交边 $BC、CA、AB$ 于点 $D,E,F$，已知 $\triangle D E F \sim \triangle A B C$．求证：$P$ 是 $\triangle ABC$ 的重心． 2022-04-17 19:10:50
19390 5d381555210b28021fc78bdf 高中 解答题 自招竞赛 将 $n$ 个白子与 $n$ 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以 $1,2, \cdots, n$．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以 $1,2, \cdots, n$．证明：存在 连续 $n$ 个棋子（不计黑白），它们的标号所成的集合为 $\{1,2, \cdots, n\}$． 2022-04-17 19:09:50
19389 590ac5ff6cddca000a0819ca 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，$P$ 为弧 $BC$ 上一点，点 $K$ 在线段 $AP$ 上，使得 $BK$ 平分 $\angle ABC$．过 $K$、$P$、$C$ 三点的圆 $\Omega$ 与边 $AC$ 交于点 $D$，连接 $BD$ 交圆 $\Omega$ 于点 $E$，连接 $PE$ 并延长与边 $AB$ 交于点 $F$，证明：$\angle ABC=2\angle FCB$． 2022-04-17 19:09:50
19388 5d382491210b280220ed68d8 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\alpha^{2005}+\beta^{2005}$ 可表示成以 $\alpha+\beta, \alpha \beta$ 为变元的二元多项式，求这个多项式的系数之和． 2022-04-17 19:09:50
19387 5d38388e210b280220ed68e4 高中 解答题 自招竞赛 如图过圆外一点 $P$ 作圆的两条切线 $PA,PB,A,B$ 为切点，再过点 $P$ 作圆的一条割线分别交圆于 $C、D$ 两点，过切点 $B$ 作 $PA$ 的平行线分别交直线 $AC、AD$ 于 $E,F$．求证：$BE= BF$． 2022-04-17 19:08:50
19386 5d3914ca210b280220ed68fa 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\{1,2, \cdots, 2005\}$．若 $S$ 中任意 $n$ 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求 $n$ 的最小值． 2022-04-17 19:08:50
19385 5d391875210b28021fc78c13 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}(n>2)$ 满足 $\displaystyle \left|\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}\right|>1,\left|x_{i}\right| \leqslant 1(i=1,2, \cdots, n)$
求证：存在正整数 $k$，使得 $\displaystyle \left|\sum\limits_{i=1}^{k} x_{i}-\sum_{i=k+1}^{n} x_{i}\right| \leqslant 1$．		 2022-04-17 19:07:50
19384 5d391e1a210b280220ed6936 高中 解答题 自招竞赛 如图圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 交于 $A、B$ 两点．过点 $O_1$ 的直线 $DC$ 交圆 $O_1$ 于D且切圆 $O_2$ 于 $C$，$CA$ 切圆 $O_1$ 于 $A$，圆 $O_1$ 的弦 $AE$ 与直线 $DC$ 垂直．过 $A$ 作 $AF$ 垂直于 $DE$，$F$ 为垂足．求证：$BD$ 平分线段 $AF$． 2022-04-17 19:07:50
19383 5d39204c210b280220ed6946 高中 解答题 自招竞赛 在等腰直角 $\triangle ABC$ 中，$CA=CB= 1$，点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 边界上任意一点，求 $P A \cdot P B \cdot P C$ 的最大值． 2022-04-17 19:06:50
19382 5d392898210b280220ed6961 高中 解答题 自招竞赛 设正实数 $a、b、c$ 满足 $a+b+c=1$，证明：$10\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)-9\left(a^{5}+b^{5}+c^{5}\right) \geqslant 1$ 2022-04-17 19:06:50
19381 5d39294d210b280220ed696b 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 个新生中，任意 $3$ 个人中有 $2$ 个人互相认识，任意 $ 4$ 个人中有 $2$ 个人互不认识．试求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 19:05:50
19380 5d398cb5210b280220ed6a04 高中 解答题 高中习题 xvs 2022-04-17 19:05:50
19379 5d394329210b280220ed6982 高中 解答题 自招竞赛 求所有的整数 $n$，使得 $n^{4}+6 n^{3}+11 n^{2}+3 n+31$ 是完全平方数． 2022-04-17 19:05:50
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