序号 | ID | 年级 | 类型 | 来源 | 摘要 | 创建时间 |
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19398 | 5d37c405210b280220ed67e7 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 给定正整数 $n(\geqslant 2)$,求 $|X|$ 的最小值,使得对集一合 $X$ 的任意 $n$ 个二元子集 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$,都存在集合 $X$ 的一个子集 $Y$,满足: (1)$|Y|=n$; (2)对 $i=1,2, \cdots, n$,都有 $\left|Y \cap B_{i}\right| \leqslant 1$. 这里 $|A|$ 表示有限集合 $A$ 的元素个数. |
2022-04-17 19:14:50 |
19397 | 5d37cbd1210b28021fc78b71 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 已知 $T= \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$,对于 $A \subseteq T, A\ne\varnothing$,定义 $S(A)$ 为 $A$ 中所有元素之和,问:$T$ 有多少个非空子集 $A$,使得 $S(A)$ 为 $3$ 的倍数,但不是 $5$ 的倍数? | 2022-04-17 19:13:50 |
19396 | 5d37d155210b280220ed6816 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 如图![]() |
2022-04-17 19:12:50 |
19395 | 5d37e53d210b280220ed6826 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设实数 $a、b、c$ 满足 $a+b+c =3$.求证:$\dfrac{1}{5 a^{2}-4 a+11}+\dfrac{1}{5 b^{2}-4 b+11}+\dfrac{1}{5 c^{2}-4 c+11} \leqslant \dfrac{1}{4}$. | 2022-04-17 19:11:50 |
19394 | 5d37eb8d210b280220ed6842 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 内部一点证明:存在正整数 $p、q、r$ 使得 $|p \cdot \overrightarrow{O A}+q \cdot \overrightarrow{O B}+r \cdot \overrightarrow{O C}|<\dfrac{1}{2007}$. | 2022-04-17 19:11:50 |
19393 | 5d37fb34210b28021fc78bb8 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 是否存在三边长都为整数的三角形,满足以下条件:最短边长为 $2007$,且最大的角等于最小角的两倍? | 2022-04-17 19:11:50 |
19392 | 5d37fd48210b280220ed6872 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 求所有的正整数 $n$,使得存在非零整数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$,满足 $\left\{\begin{array}{l}{x_{1}+\cdots+x_{n}=0} \\ {x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=n y^{2}}\end{array}\right.$ | 2022-04-17 19:10:50 |
19391 | 5d3801bd210b280220ed6881 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $P$ 是锐角三角形 $ABC$ 内一点,$AP、BP、CP$ 分别交边 $BC、CA、AB$ 于点 $D,E,F$,已知 $\triangle D E F \sim \triangle A B C$.求证:$P$ 是 $\triangle ABC$ 的重心. | 2022-04-17 19:10:50 |
19390 | 5d381555210b28021fc78bdf | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 将 $n$ 个白子与 $n$ 个黑子任意地放在一个圆周上.从某个白子起,按顺时针方向依次将白子标以 $1,2, \cdots, n$.再从某个黑子起,按逆时针方向依次将黑子标以 $1,2, \cdots, n$.证明:存在 连续 $n$ 个棋子(不计黑白),它们的标号所成的集合为 $\{1,2, \cdots, n\}$. | 2022-04-17 19:09:50 |
19389 | 590ac5ff6cddca000a0819ca | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 如图,$\triangle ABC$ 内接于圆 $O$,$P$ 为弧 $BC$ 上一点,点 $K$ 在线段 $AP$ 上,使得 $BK$ 平分 $\angle ABC$.过 $K$、$P$、$C$ 三点的圆 $\Omega$ 与边 $AC$ 交于点 $D$,连接 $BD$ 交圆 $\Omega$ 于点 $E$,连接 $PE$ 并延长与边 $AB$ 交于点 $F$,证明:$\angle ABC=2\angle FCB$.![]() |
2022-04-17 19:09:50 |
19388 | 5d382491210b280220ed68d8 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 已知 $\alpha^{2005}+\beta^{2005}$ 可表示成以 $\alpha+\beta, \alpha \beta$ 为变元的二元多项式,求这个多项式的系数之和. | 2022-04-17 19:09:50 |
19387 | 5d38388e210b280220ed68e4 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 如图![]() |
2022-04-17 19:08:50 |
19386 | 5d3914ca210b280220ed68fa | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $S=\{1,2, \cdots, 2005\}$.若 $S$ 中任意 $n$ 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数,试求 $n$ 的最小值. | 2022-04-17 19:08:50 |
19385 | 5d391875210b28021fc78c13 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 已知实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}(n>2)$ 满足 $\displaystyle \left|\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}\right|>1,\left|x_{i}\right| \leqslant 1(i=1,2, \cdots, n)$ 求证:存在正整数 $k$,使得 $\displaystyle \left|\sum\limits_{i=1}^{k} x_{i}-\sum_{i=k+1}^{n} x_{i}\right| \leqslant 1$. |
2022-04-17 19:07:50 |
19384 | 5d391e1a210b280220ed6936 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 如图![]() |
2022-04-17 19:07:50 |
19383 | 5d39204c210b280220ed6946 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 在等腰直角 $\triangle ABC$ 中,$CA=CB= 1$,点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 边界上任意一点,求 $P A \cdot P B \cdot P C$ 的最大值. | 2022-04-17 19:06:50 |
19382 | 5d392898210b280220ed6961 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设正实数 $a、b、c$ 满足 $a+b+c=1$,证明:$10\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)-9\left(a^{5}+b^{5}+c^{5}\right) \geqslant 1$ | 2022-04-17 19:06:50 |
19381 | 5d39294d210b280220ed696b | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $n$ 个新生中,任意 $3$ 个人中有 $2$ 个人互相认识,任意 $ 4$ 个人中有 $2$ 个人互不认识.试求 $n$ 的最大值. | 2022-04-17 19:05:50 |
19380 | 5d398cb5210b280220ed6a04 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | xvs | 2022-04-17 19:05:50 |
19379 | 5d394329210b280220ed6982 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 求所有的整数 $n$,使得 $n^{4}+6 n^{3}+11 n^{2}+3 n+31$ 是完全平方数. | 2022-04-17 19:05:50 |