2016IMO Short List

所求最小值为 $6$．
先证明三个引理．
引理1：对于任意整数 $n$，均有$$(P(n),P(n+1))=1$$引理（1）的证明：
$(P(n),P(n+1))=(n^2 +n+1,n^2 +3n+3)=(n^2 +n+1,2n+2)=(n^2 +n+1,n+1)=(1,n+1)=1$．
引理2：对于 $n\not \equiv 2\pmod{7}$，有$$(P(n),P(n+2))=1$$对于 $n\equiv 2\pmod{7}$，有$$(P(n),P(n+2))=7$$引理（2）的证明：由于$$(2n+7)P(n)-(2n-1)P(n+2)=14$$且 $P(n)$ 为奇数，则 $(P(n),P(n+2))$ 必为 $7$ 的因数．
对 $n=0,1,\ldots,6\pmod{7}$，直接验证即得结论成立．
引理3：
对于 $n\not \equiv 1\pmod{3}$，
有$$(P(n),P(n+3))=1$$对于 $n\equiv 1\pmod{3}$，
有$$3~|~(P(n),P(n+3))$$引理（3）的证明：由于$$(n+5)P(n)-(n-1)P(n+3)=18$$且 $P(n)$ 为奇数，则 $(P(n),P(n+3))$ 必为 $9$ 的因数．对 $n=0,1,2\pmod{3}$，直接验证即得结论成立．引理（1），（2），（3）得证．
假设存在一个芳香集合最多有五个元素．可假设其恰包含元素 $P(a),P(a+1),\ldots,P(a+4)$．这是因为接下来的证明对于少于五个元素仍然成立．由引理（1），知 $P(a+2)$ 与 $P(a+1),P(a+3)$ 均互素．不失一般性，假设 $(P(a),P(a+2))>1$．由引理（2）知 $a\equiv 2\pmod{7}$．由于 $a+1\equiv 3\pmod{7}$，由引理（2）知$$(P(a+1),P(a+3))=1$$又集合是芳香的，则 $(P(a),P(a+3))$ 及 $(P(a+1),P(a+4))$ 均大于 $1$．由引理（3）知 $a\equiv 1\pmod{3}$ 且 $a+1\equiv 1\pmod{3}$．矛盾．
下面构造一个有六个元素的芳香集．由中国剩余定理，知存在正整数 $a$，使得 $a\equiv 7\pmod{19}$，$a+1\equiv 2\pmod{7}$，$a+2\equiv 1\pmod{3}$．例如，$a=197$．由引理（2），知 $P(a+1),P(a+3)$ 均能被 $7$ 整除．由引理（3），知 $P(a+2),P(a+5)$ 均能被 $3$ 整除．又 $19~|~P(7)=57$，$19~|~P(11)=133$，则 $P(a),P(a+4)$ 均能被 $19$ 整除．这表明，$\{P(a),P(a+1),\ldots,P(a+5)\}$ 是芳香集．故芳香集合中元素个数的最小值为 $6$

略