已知 $0<x, y<1$，求 $\dfrac{x y(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2011年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $x=y=\dfrac{1}{3}$ 时，代数式的值为 $\dfrac{1}{8}$．
下面证明：对任意的 $0<x , y<1$，$\dfrac{x y(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)} \leqslant \dfrac{1}{8}$ 恒成立．
当 $x+y\geqslant 1$ 时，$\dfrac{x y(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)} \leqslant 0<\dfrac{1}{8}$；
当 $x+y<1$ 时，设 $ 1-x-y=z>0$，则
$\dfrac{x y(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}=\dfrac{x y z}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leqslant \dfrac{x y z}{2 \sqrt{x y} \cdot 2 \sqrt{y z} \cdot 2 \sqrt{z x}}=\dfrac{1}{8}$．
综上，所求最大值为 $\dfrac{1}{8}$．
下面证明：对任意的 $0<x , y<1$，$\dfrac{x y(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)} \leqslant \dfrac{1}{8}$ 恒成立．
当 $x+y\geqslant 1$ 时，$\dfrac{x y(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)} \leqslant 0<\dfrac{1}{8}$；
当 $x+y<1$ 时，设 $ 1-x-y=z>0$，则
$\dfrac{x y(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}=\dfrac{x y z}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leqslant \dfrac{x y z}{2 \sqrt{x y} \cdot 2 \sqrt{y z} \cdot 2 \sqrt{z x}}=\dfrac{1}{8}$．
综上，所求最大值为 $\dfrac{1}{8}$．
答案
解析
备注
