求所有的正整数 $n$，使得集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 有 $n$ 个两两不同的三元子集 $A_1,A_2,\cdots,A_n$，满足对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，都有 $|A_i \bigcap A_j| \ne1$．
【难度】
【出处】
2010年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
所求的正整数 $n$ 为所有 $4$ 的倍数．
（1）当 $n=4 k\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 时，构造 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{4 k}$ 如下：对任意 $1 \leqslant i \leqslant k, 0 \leqslant j \leqslant 3, A_{4 i-j}=\{4 i-3,4 i-2,4 i-1,4 i \} /\{4 i-j\}$．
（2）当 $n\ne 4 k\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 时，假设存在集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 有 $n$ 个两两不同的三元子集 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 满足题目条件．
对于 $A_{1}=\{a, b, c\}$，考察所有与 $A_1$ 交集非空的子集，不妨设为 $A_{2}, \cdots, A_{m}$，并记 $U=A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{m}$．
若 $|U|=3$，则 $m=1<|U|$；
若 $|U|=4$，则 $m \leqslant C_{4}^{3}=4=|U|$；
若 $|U|\geqslant 4$，下面证明必有 $m<|U|$．
假设 $m\geqslant |U|$，则对任意 $2\leqslant i,j\leqslant m$，有 $\left|A_{1} \cap A_{i}\right|=2,\left|A_{1} \cap A_{j}\right|=2$，结合 $|A_1|= 3$ 知 $A_{i} \cap A_{j} \neq \varnothing$，又由题意知 $\left|A_{i} \cap A_{j}\right| \neq 1$，所以 $\left|A_{i} \cap A_{j}\right|=2$．
这就说明 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m}$ 中任何两个集合都恰有两个公共元素．
（1）当 $n=4 k\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 时，构造 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{4 k}$ 如下：对任意 $1 \leqslant i \leqslant k, 0 \leqslant j \leqslant 3, A_{4 i-j}=\{4 i-3,4 i-2,4 i-1,4 i \} /\{4 i-j\}$．
（2）当 $n\ne 4 k\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 时，假设存在集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 有 $n$ 个两两不同的三元子集 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 满足题目条件．
对于 $A_{1}=\{a, b, c\}$，考察所有与 $A_1$ 交集非空的子集，不妨设为 $A_{2}, \cdots, A_{m}$，并记 $U=A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{m}$．
若 $|U|=3$，则 $m=1<|U|$；
若 $|U|=4$，则 $m \leqslant C_{4}^{3}=4=|U|$；
若 $|U|\geqslant 4$，下面证明必有 $m<|U|$．
假设 $m\geqslant |U|$，则对任意 $2\leqslant i,j\leqslant m$，有 $\left|A_{1} \cap A_{i}\right|=2,\left|A_{1} \cap A_{j}\right|=2$，结合 $|A_1|= 3$ 知 $A_{i} \cap A_{j} \neq \varnothing$，又由题意知 $\left|A_{i} \cap A_{j}\right| \neq 1$，所以 $\left|A_{i} \cap A_{j}\right|=2$．
这就说明 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m}$ 中任何两个集合都恰有两个公共元素．
答案
解析
备注
