给定整数 $n\geqslant 2$．
（1）求证：可以将集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的所有子集适当地排列为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2^n}$，使得 $A_i$ 与 $A_{i+1}$ 的元素个数恰相差 $ 1$，其中 $i=1,2, \cdots, 2^{n}$ 且 $A_{2^{n}+1}=A_{1}$；
（2）对于满足（1）中条件的子集 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2^n}$，求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2^n}(-1)^iS(A_i)$ 的所有可能值，其中 $\displaystyle S(A_i)=\sum\limits_{x\in A_i}x,S(\varnothing)=0$．
（1）求证：可以将集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的所有子集适当地排列为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2^n}$，使得 $A_i$ 与 $A_{i+1}$ 的元素个数恰相差 $ 1$，其中 $i=1,2, \cdots, 2^{n}$ 且 $A_{2^{n}+1}=A_{1}$；
（2）对于满足（1）中条件的子集 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2^n}$，求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2^n}(-1)^iS(A_i)$ 的所有可能值，其中 $\displaystyle S(A_i)=\sum\limits_{x\in A_i}x,S(\varnothing)=0$．
【难度】
【出处】
2011年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）下面用数学归纳法证明，存在满足要求的子集序列 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2^n}$，且 $A_{1}=\{1\}, A_{2^n}=\varnothing$．
当 $n = 2 $ 时，序列 $\{1\},\{1,2\},\{2\}, \varnothing$ 满足要求；
假设 $n = k$ 时，存在满足要求的子集序列 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{2^k}$．对于 $n = k+1$，构造序列如下：
$A_{1}=B_{1}=\{1\}$
$A_{i}=B_{i-1} \cup\{k+1\}, i=2,3, \cdots, 2^{k}+1$
$A_{j}=B_{j-2^k}, j=2^{k}+2,2^{k}+3, \cdots, 2^{k+1}$
易验证序列 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2^{k+1}}$ 满足要求．
综上所述，对任意正整数 $n\geqslant 2$，存在满足要求的子集序列．
（2）不妨设 $A_1=\{1\}$，由于相邻两个子集的元素个数相差 $1$，所以必然是一个奇数和一个偶数，因此子集的元素个数与该子集的脚标的奇偶性相同．
于是 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2^n}(-1)^{i} S\left(A_{i}\right)=\sum_{A \in P} S(A)-\sum_{A \in Q} S(A)$，其中 $P$ 是 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的所有偶数元子集构成的集合，Q 是 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的所有奇数元子集构成的集合．
对于任意 $x\in \{1, 2, \cdots,n\}$，它在所有的 $ k $ 元子集中出现了 $ C_{n-1}^{k-1} $ 次，因此它在 $\displaystyle \sum\limits_{A \in P} S(A)-\sum_{A \in Q} S(A)$ 中的贡献为
$-C_{n-1}^{0}+C_{n-1}^{1}-C_{n-1}^{2}+\cdots+(-1)^{n} C_{n-1}^{n-1}=-(1-1)^{n-1}=0$
所以 $\displaystyle \sum\limits_{t=1}^{2^{n}}(-1)^{i} S\left(A_{i}\right)=0$．
当 $n = 2 $ 时，序列 $\{1\},\{1,2\},\{2\}, \varnothing$ 满足要求；
假设 $n = k$ 时，存在满足要求的子集序列 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{2^k}$．对于 $n = k+1$，构造序列如下：
$A_{1}=B_{1}=\{1\}$
$A_{i}=B_{i-1} \cup\{k+1\}, i=2,3, \cdots, 2^{k}+1$
$A_{j}=B_{j-2^k}, j=2^{k}+2,2^{k}+3, \cdots, 2^{k+1}$
易验证序列 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2^{k+1}}$ 满足要求．
综上所述，对任意正整数 $n\geqslant 2$，存在满足要求的子集序列．
（2）不妨设 $A_1=\{1\}$，由于相邻两个子集的元素个数相差 $1$，所以必然是一个奇数和一个偶数，因此子集的元素个数与该子集的脚标的奇偶性相同．
于是 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2^n}(-1)^{i} S\left(A_{i}\right)=\sum_{A \in P} S(A)-\sum_{A \in Q} S(A)$，其中 $P$ 是 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的所有偶数元子集构成的集合，Q 是 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的所有奇数元子集构成的集合．
对于任意 $x\in \{1, 2, \cdots,n\}$，它在所有的 $ k $ 元子集中出现了 $ C_{n-1}^{k-1} $ 次，因此它在 $\displaystyle \sum\limits_{A \in P} S(A)-\sum_{A \in Q} S(A)$ 中的贡献为
$-C_{n-1}^{0}+C_{n-1}^{1}-C_{n-1}^{2}+\cdots+(-1)^{n} C_{n-1}^{n-1}=-(1-1)^{n-1}=0$
所以 $\displaystyle \sum\limits_{t=1}^{2^{n}}(-1)^{i} S\left(A_{i}\right)=0$．
答案
解析
备注
