设 $m、k$ 为给定的非负整数，$p= 2^{2^m} + 1$ 为素数，求证：
（1）$2^{2^{m+1} p^{2}} \equiv 1\left(\bmod p^{k+1}\right)$；
（2）满足同余方程 $2^{n} \equiv 1\left(\bmod p^{k+1}\right)$ 的最小正整数 $n$ 为 $2^{m+1} p^{k}$．
（1）$2^{2^{m+1} p^{2}} \equiv 1\left(\bmod p^{k+1}\right)$；
（2）满足同余方程 $2^{n} \equiv 1\left(\bmod p^{k+1}\right)$ 的最小正整数 $n$ 为 $2^{m+1} p^{k}$．
【难度】
【出处】
2010年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们用数学归纳法证明对任意非负整数 $k$，有 $2^{2^{m+1}p^{k}}=p^{k+1} t_{k}+1$ 其中 $t_k$ 不是 $p$ 的倍数．
当 $k= 0$ 时，由 $2^{2^{m}}=p-1$，于是 $2^{2^{m+1}}=(p-1)^{2}=p(p-2)+1$，取 $t_{0}=p-2$ 即可．
假设已有 $2^{2^{m+1}} p^{k}=p^{k+1} t_{k}+1$，其中 $t_k$ 不是 $p$ 的倍数，那么
$\begin{aligned} 2^{2^{m+1}} p^{k+1} &=\left(p^{k+1} t_{k}+1\right)^{p}=\sum_{s=0}^{p} C_{p}^{s}\left(p^{k+1} t_{k}\right)^{s} =1+p \cdot p^{k+1} t_{k}+C_{p}^{2}\left(p^{k+1} t_{k}\right)^{2}+\sum_{s=3}^{p} C_{p}^{s}\left(p^{k+1} t_{k}\right)^{s} \end{aligned}$
所以 $2^{2^{m+1} p^{k+1}}=p^{k+2} t_{k+1}+1$，其中 $t_{k+1}$ 不是 $p$ 的倍数．
当 $k= 0$ 时，由 $2^{2^{m}}=p-1$，于是 $2^{2^{m+1}}=(p-1)^{2}=p(p-2)+1$，取 $t_{0}=p-2$ 即可．
假设已有 $2^{2^{m+1}} p^{k}=p^{k+1} t_{k}+1$，其中 $t_k$ 不是 $p$ 的倍数，那么
$\begin{aligned} 2^{2^{m+1}} p^{k+1} &=\left(p^{k+1} t_{k}+1\right)^{p}=\sum_{s=0}^{p} C_{p}^{s}\left(p^{k+1} t_{k}\right)^{s} =1+p \cdot p^{k+1} t_{k}+C_{p}^{2}\left(p^{k+1} t_{k}\right)^{2}+\sum_{s=3}^{p} C_{p}^{s}\left(p^{k+1} t_{k}\right)^{s} \end{aligned}$
所以 $2^{2^{m+1} p^{k+1}}=p^{k+2} t_{k+1}+1$，其中 $t_{k+1}$ 不是 $p$ 的倍数．
答案
解析
备注
