设 $a, b, c>0$，求证：$\begin{aligned} \frac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}+& \frac{(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}+\frac{(c-a)^{2}}{(b+c)(b+a)} \geqslant \frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \end{aligned}$
【难度】
【出处】
2011年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
由 $\dfrac{1}{2}(a-2 b)^{2}+\dfrac{1}{2}(a-2 c)^{2}+(b-c)^{2} \geqslant 0$，可得 $3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \geqslant 2 a^{2}+2 a b+2 b c+2 a c=2(a+b)(a+c)$，所以 $(a+b)(a+c) \leqslant \dfrac{3}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$．
同理可得 $(b+a)(b+c) \leqslant \dfrac{3}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$，$(c+a)(c+b) \leqslant \dfrac{3}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$．
于是
$\dfrac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}+\dfrac{(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{(c-a)^{2}}{(b+c)(b+a)}\geqslant \frac{2}{3} \cdot \dfrac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\\\geqslant \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{(a-b)^{2}+\dfrac{1}{2}(b-c+c-a)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\dfrac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
证法二
由柯西不等式知
$\left[\dfrac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}+\dfrac{(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{(c-a)^{2}}{(b+c)(b+a)}\right]\cdot[(c+a)(c+b)+(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)]$
$\geqslant(|a-b|+|b-c|+|c-a|)^{2}\geqslant(|a-b|+|b-c+c-a|)^{2}=4(a-b)^{2}$
又 $(c+a)(c+b)+(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+3(a b+b c+c a) \leqslant 4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$
所以 $\dfrac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}+\dfrac{(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{(c-a)^{2}}{(b+c)(b+a)}\geqslant \dfrac{4(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)+(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)}\geqslant \dfrac{4(a-b)^{2}}{4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}=\dfrac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
由 $\dfrac{1}{2}(a-2 b)^{2}+\dfrac{1}{2}(a-2 c)^{2}+(b-c)^{2} \geqslant 0$，可得 $3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \geqslant 2 a^{2}+2 a b+2 b c+2 a c=2(a+b)(a+c)$，所以 $(a+b)(a+c) \leqslant \dfrac{3}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$．
同理可得 $(b+a)(b+c) \leqslant \dfrac{3}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$，$(c+a)(c+b) \leqslant \dfrac{3}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$．
于是
$\dfrac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}+\dfrac{(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{(c-a)^{2}}{(b+c)(b+a)}\geqslant \frac{2}{3} \cdot \dfrac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\\\geqslant \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{(a-b)^{2}+\dfrac{1}{2}(b-c+c-a)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\dfrac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
证法二
由柯西不等式知
$\left[\dfrac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}+\dfrac{(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{(c-a)^{2}}{(b+c)(b+a)}\right]\cdot[(c+a)(c+b)+(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)]$
$\geqslant(|a-b|+|b-c|+|c-a|)^{2}\geqslant(|a-b|+|b-c+c-a|)^{2}=4(a-b)^{2}$
又 $(c+a)(c+b)+(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+3(a b+b c+c a) \leqslant 4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$
所以 $\dfrac{(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)}+\dfrac{(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{(c-a)^{2}}{(b+c)(b+a)}\geqslant \dfrac{4(a-b)^{2}}{(c+a)(c+b)+(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)}\geqslant \dfrac{4(a-b)^{2}}{4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}=\dfrac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
答案
解析
备注
