设集合 $M \subseteq\{1,2, \cdots, 2011\}$，满足：在 $M$ 的任意三个元素中，都可以找到两个元素 $a、b$，使得 $a|b$ 或 $b|a$．求 $|M|$ 的最大值（其中 $|M|$ 表示集合 $M$ 的元素个数）．
【难度】
【出处】
2011年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $M=\left\{1,2,2^{2}, 2^{3}, \cdots, 2^{10}, 3,3 \times 2,3 \times 2^{2}, \cdots 3 \times 2^{9} \right\}$ 时满足条件，此时 $|M|= 21$．
假设 $|M|\geqslant 22$，设 $M$ 中的元素为 $a_{1} \leqslant a_{2}<\dots<a_{k}(k \geqslant 22)$．
首先证明 $a_{n+2} \geqslant 2 a_{n}$．否则 $a_{n}<a_{n+1}<a_{n+2}<2 a_{n}$，那么 $a_n,a_{n+1}, a_{n+2}$ 中任意两个元素之间没有整数倍数关系，矛盾！
由上述结论知：
$a_{4} \geqslant 2 a_{2} \geqslant 4$
$a_{6} \geqslant 2 a_{1} \geqslant 8$
$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
$a_{22} \geqslant 2 a_{20} \geqslant 2^{11}>2011$
矛盾！
综上，$|M|$ 的最大值为 $21$．
假设 $|M|\geqslant 22$，设 $M$ 中的元素为 $a_{1} \leqslant a_{2}<\dots<a_{k}(k \geqslant 22)$．
首先证明 $a_{n+2} \geqslant 2 a_{n}$．否则 $a_{n}<a_{n+1}<a_{n+2}<2 a_{n}$，那么 $a_n,a_{n+1}, a_{n+2}$ 中任意两个元素之间没有整数倍数关系，矛盾！
由上述结论知：
$a_{4} \geqslant 2 a_{2} \geqslant 4$
$a_{6} \geqslant 2 a_{1} \geqslant 8$
$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$
$a_{22} \geqslant 2 a_{20} \geqslant 2^{11}>2011$
矛盾！
综上，$|M|$ 的最大值为 $21$．
答案
解析
备注
