已知正整数 $a$ 不为完全平方数．设$$\begin{aligned}A&=\left\{\left.k=\frac{x^{2}-a}{x^{2}-y^{2}} ~\right|~ x,y \in \mathbb{Z}, x>\sqrt{a}\right\} \\ B&=\left\{\left.k=\frac{x^{2}-a}{x^{2}-y^{2}} ~\right|~ x, y \in \mathbb{Z}, 0 \leqslant x<\sqrt{a}\right\}\end{aligned}$$证明：$A=B$．
【难度】
【出处】
2016IMO Short List
【标注】
【答案】
设\begin{equation}
k=\frac{x^{2}-a}{x^{2}-y^{2}}
\end{equation}先证明一个引理．
引理：对于固定的正整数 $k$，设整数 $x,y$ 满足式（1），则$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right),~y_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y-\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)$$均为整数，且满足式（1）（用 $x_1 ,y_1$ 代替 $x,y$）．
引理的证明：因为 $x_1 +y_1 =x-y$，且$$x_{1}=\frac{x^{2}-x y-2 a}{x+y}=-x+\frac{2\left(x^{2}-a\right)}{x+y}=-x+2k(x-y)$$所以，$x_1 ,y_1$ 均为整数．设 $u=x+y,v=x-y$．则式（1）可改写为$$u^2 -(4k-2)uv+(v^2 -4a)=0$$由韦达定理，知 $z=\frac{v^2 -4a}{u}$ 满足$$v^2 -(4k-2)vz+(z^2 -4a)=0$$由 $x_1 , y_1$ 的定义知 $v=x_1 + y_1 , z=x_1 -y_1$．将上面的过程倒推，知 $x_1 , y_1$ 满足式（1）．引理得证．
对于任意的 $k\in B$，存在整数 $x,y$ 满足 $0\leqslant x<\sqrt{a}$，且式（1）成立．显然，$y\neq 0$．因此，可假设 $y\in\mathbb{Z}_{+}$．由于 $a$ 不为完全平方数，于是，$k>1$．从而，$0\leqslant x<y<\sqrt{a}$．定义 $x_{1}=\frac{1}{2}\left|x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right|, ~y_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y-\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)$．由引理，知 $x_1 ,y_1$ 为整数，且满足式（1）．注意到，$$x \geqslant-\frac{1}{2}\left(x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)=\frac{2 a+x(y-x)}{x+y}\geqslant \frac{2 a}{x+y}>\sqrt{a}$$这表明，$k\in B$．于是，$B\subset A$．
对于任意的 $k\in A$，存在整数 $x$，$x>\sqrt{a}$，且式（1）成立．下面仍然可以假设 $y\in\mathbb{Z}_{+}$．对于 $k$ 的所有满足式（1）的表示中选择 $x,y$，使得 $x+y$ 最小．定义$$x_{1}=\frac{1}{2}\left|x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right|,~y_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y-\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)$$由引理，知 $x_1 , y_1$ 为整数，且满足式（1）．因为 $k>1$，所以，$x>y>\sqrt{a}$．故$$x_{1}+y_{1} \leqslant \max \left\{x-y, \frac{4 a-(x-y)^{2}}{x+y}\right\}<x+y$$若 $x_1 > \sqrt{a}$，则与 $x+y$ 最小矛盾．从而，$0\leqslant x_1 <\sqrt{a}$．这表明，$k\in A$．于是，$A\subset B$．
综上，$A=B$
k=\frac{x^{2}-a}{x^{2}-y^{2}}
\end{equation}先证明一个引理．
引理：对于固定的正整数 $k$，设整数 $x,y$ 满足式（1），则$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right),~y_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y-\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)$$均为整数，且满足式（1）（用 $x_1 ,y_1$ 代替 $x,y$）．
引理的证明：因为 $x_1 +y_1 =x-y$，且$$x_{1}=\frac{x^{2}-x y-2 a}{x+y}=-x+\frac{2\left(x^{2}-a\right)}{x+y}=-x+2k(x-y)$$所以，$x_1 ,y_1$ 均为整数．设 $u=x+y,v=x-y$．则式（1）可改写为$$u^2 -(4k-2)uv+(v^2 -4a)=0$$由韦达定理，知 $z=\frac{v^2 -4a}{u}$ 满足$$v^2 -(4k-2)vz+(z^2 -4a)=0$$由 $x_1 , y_1$ 的定义知 $v=x_1 + y_1 , z=x_1 -y_1$．将上面的过程倒推，知 $x_1 , y_1$ 满足式（1）．引理得证．
对于任意的 $k\in B$，存在整数 $x,y$ 满足 $0\leqslant x<\sqrt{a}$，且式（1）成立．显然，$y\neq 0$．因此，可假设 $y\in\mathbb{Z}_{+}$．由于 $a$ 不为完全平方数，于是，$k>1$．从而，$0\leqslant x<y<\sqrt{a}$．定义 $x_{1}=\frac{1}{2}\left|x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right|, ~y_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y-\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)$．由引理，知 $x_1 ,y_1$ 为整数，且满足式（1）．注意到，$$x \geqslant-\frac{1}{2}\left(x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)=\frac{2 a+x(y-x)}{x+y}\geqslant \frac{2 a}{x+y}>\sqrt{a}$$这表明，$k\in B$．于是，$B\subset A$．
对于任意的 $k\in A$，存在整数 $x$，$x>\sqrt{a}$，且式（1）成立．下面仍然可以假设 $y\in\mathbb{Z}_{+}$．对于 $k$ 的所有满足式（1）的表示中选择 $x,y$，使得 $x+y$ 最小．定义$$x_{1}=\frac{1}{2}\left|x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right|,~y_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y-\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)$$由引理，知 $x_1 , y_1$ 为整数，且满足式（1）．因为 $k>1$，所以，$x>y>\sqrt{a}$．故$$x_{1}+y_{1} \leqslant \max \left\{x-y, \frac{4 a-(x-y)^{2}}{x+y}\right\}<x+y$$若 $x_1 > \sqrt{a}$，则与 $x+y$ 最小矛盾．从而，$0\leqslant x_1 <\sqrt{a}$．这表明，$k\in A$．于是，$A\subset B$．
综上，$A=B$
【解析】
略
答案
解析
备注
