已知正整数 $a$ 不为完全平方数.设$$\begin{aligned}A&=\left\{\left.k=\frac{x^{2}-a}{x^{2}-y^{2}} ~\right|~ x,y \in \mathbb{Z}, x>\sqrt{a}\right\} \\ B&=\left\{\left.k=\frac{x^{2}-a}{x^{2}-y^{2}} ~\right|~ x, y \in \mathbb{Z}, 0 \leqslant x<\sqrt{a}\right\}\end{aligned}$$证明:$A=B$.
【难度】
【出处】
2016IMO Short List
【标注】
【答案】
设\begin{equation}
k=\frac{x^{2}-a}{x^{2}-y^{2}}
\end{equation}先证明一个引理.
引理:对于固定的正整数 $k$,设整数 $x,y$ 满足式(1),则$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right),~y_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y-\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)$$均为整数,且满足式(1)(用 $x_1 ,y_1$ 代替 $x,y$).
引理的证明:因为 $x_1 +y_1 =x-y$,且$$x_{1}=\frac{x^{2}-x y-2 a}{x+y}=-x+\frac{2\left(x^{2}-a\right)}{x+y}=-x+2k(x-y)$$所以,$x_1 ,y_1$ 均为整数.设 $u=x+y,v=x-y$.则式(1)可改写为$$u^2 -(4k-2)uv+(v^2 -4a)=0$$由韦达定理,知 $z=\frac{v^2 -4a}{u}$ 满足$$v^2 -(4k-2)vz+(z^2 -4a)=0$$由 $x_1 , y_1$ 的定义知 $v=x_1 + y_1 , z=x_1 -y_1$.将上面的过程倒推,知 $x_1 , y_1$ 满足式(1).引理得证.
对于任意的 $k\in B$,存在整数 $x,y$ 满足 $0\leqslant x<\sqrt{a}$,且式(1)成立.显然,$y\neq 0$.因此,可假设 $y\in\mathbb{Z}_{+}$.由于 $a$ 不为完全平方数,于是,$k>1$.从而,$0\leqslant x<y<\sqrt{a}$.定义 $x_{1}=\frac{1}{2}\left|x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right|, ~y_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y-\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)$.由引理,知 $x_1 ,y_1$ 为整数,且满足式(1).注意到,$$x \geqslant-\frac{1}{2}\left(x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)=\frac{2 a+x(y-x)}{x+y}\geqslant \frac{2 a}{x+y}>\sqrt{a}$$这表明,$k\in B$.于是,$B\subset A$.
对于任意的 $k\in A$,存在整数 $x$,$x>\sqrt{a}$,且式(1)成立.下面仍然可以假设 $y\in\mathbb{Z}_{+}$.对于 $k$ 的所有满足式(1)的表示中选择 $x,y$,使得 $x+y$ 最小.定义$$x_{1}=\frac{1}{2}\left|x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right|,~y_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y-\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)$$由引理,知 $x_1 , y_1$ 为整数,且满足式(1).因为 $k>1$,所以,$x>y>\sqrt{a}$.故$$x_{1}+y_{1} \leqslant \max \left\{x-y, \frac{4 a-(x-y)^{2}}{x+y}\right\}<x+y$$若 $x_1 > \sqrt{a}$,则与 $x+y$ 最小矛盾.从而,$0\leqslant x_1 <\sqrt{a}$.这表明,$k\in A$.于是,$A\subset B$.
综上,$A=B$
k=\frac{x^{2}-a}{x^{2}-y^{2}}
\end{equation}先证明一个引理.
引理:对于固定的正整数 $k$,设整数 $x,y$ 满足式(1),则$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right),~y_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y-\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)$$均为整数,且满足式(1)(用 $x_1 ,y_1$ 代替 $x,y$).
引理的证明:因为 $x_1 +y_1 =x-y$,且$$x_{1}=\frac{x^{2}-x y-2 a}{x+y}=-x+\frac{2\left(x^{2}-a\right)}{x+y}=-x+2k(x-y)$$所以,$x_1 ,y_1$ 均为整数.设 $u=x+y,v=x-y$.则式(1)可改写为$$u^2 -(4k-2)uv+(v^2 -4a)=0$$由韦达定理,知 $z=\frac{v^2 -4a}{u}$ 满足$$v^2 -(4k-2)vz+(z^2 -4a)=0$$由 $x_1 , y_1$ 的定义知 $v=x_1 + y_1 , z=x_1 -y_1$.将上面的过程倒推,知 $x_1 , y_1$ 满足式(1).引理得证.
对于任意的 $k\in B$,存在整数 $x,y$ 满足 $0\leqslant x<\sqrt{a}$,且式(1)成立.显然,$y\neq 0$.因此,可假设 $y\in\mathbb{Z}_{+}$.由于 $a$ 不为完全平方数,于是,$k>1$.从而,$0\leqslant x<y<\sqrt{a}$.定义 $x_{1}=\frac{1}{2}\left|x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right|, ~y_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y-\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)$.由引理,知 $x_1 ,y_1$ 为整数,且满足式(1).注意到,$$x \geqslant-\frac{1}{2}\left(x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)=\frac{2 a+x(y-x)}{x+y}\geqslant \frac{2 a}{x+y}>\sqrt{a}$$这表明,$k\in B$.于是,$B\subset A$.
对于任意的 $k\in A$,存在整数 $x$,$x>\sqrt{a}$,且式(1)成立.下面仍然可以假设 $y\in\mathbb{Z}_{+}$.对于 $k$ 的所有满足式(1)的表示中选择 $x,y$,使得 $x+y$ 最小.定义$$x_{1}=\frac{1}{2}\left|x-y+\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right|,~y_{1}=\frac{1}{2}\left(x-y-\frac{(x-y)^{2}-4 a}{x+y}\right)$$由引理,知 $x_1 , y_1$ 为整数,且满足式(1).因为 $k>1$,所以,$x>y>\sqrt{a}$.故$$x_{1}+y_{1} \leqslant \max \left\{x-y, \frac{4 a-(x-y)^{2}}{x+y}\right\}<x+y$$若 $x_1 > \sqrt{a}$,则与 $x+y$ 最小矛盾.从而,$0\leqslant x_1 <\sqrt{a}$.这表明,$k\in A$.于是,$A\subset B$.
综上,$A=B$
【解析】
略
答案
解析
备注