设整数 $n\geqslant 3$．将标号为 $1 , 2, \cdots,n^2$ 的 $n^2$ 张卡片放入 $n$ 个盒子中，每个盒子中各有 $n$ 张允许进行如下操作：每次操作选取两个盒子，并从 这两个盒子中各取两张卡片放入对方盒中．证明：不论最初如何放置，总能经过有限次操作．使得每个盒子中卡片的标号是连续的 $n$ 个整数．
【难度】
【出处】
2016第15届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们首先证明可以通过两次操作，交换任意两个盒子中各一张卡 片，且使其余卡片的位置不变．
设其中一个盒子中有 $a、x、y$ 三张卡片（暂不考虑其余卡片），另一个盒 子中有 $b、z、w$ 三张卡片（暂不考虑其余卡片），其中 $a、b$ 为待交换的卡片．第 一次操作交换 $a、x$ 和 $z、w$，第二次操作交换 $z、w$ 和 $b、x$，这样第一个盒子 中的卡片变为 $b、x、y$ 第二个盒子中的卡片变为 $a、z、w$，完成了交换．
使用上述方法，可以将标号为 $1,2, \cdots,n$ 的卡片逐一换到第一个盒子 中．再将标号为 $n+1, n+2,\cdots, 2n$ 的卡片换到第二个盒子中，以此类推，直至将标号为 $n^{2}-2 n+1, n^{2}-2 n+2, \cdots, n^{2}-n$ 的卡片换到第 $n-1$ 个盒子 中．在完成后面盒子的交换时前面盒子中的卡片不会变动，故此时剩余的标号为 $n^{2}-n+1, n^{2}-n+2, \cdots, n^{2}$ 的卡片必然都在最后一个盒子中，即此时每个盒子中卡片的标号是连续的 $n$ 个整数，证毕．
设其中一个盒子中有 $a、x、y$ 三张卡片（暂不考虑其余卡片），另一个盒 子中有 $b、z、w$ 三张卡片（暂不考虑其余卡片），其中 $a、b$ 为待交换的卡片．第 一次操作交换 $a、x$ 和 $z、w$，第二次操作交换 $z、w$ 和 $b、x$，这样第一个盒子 中的卡片变为 $b、x、y$ 第二个盒子中的卡片变为 $a、z、w$，完成了交换．
使用上述方法，可以将标号为 $1,2, \cdots,n$ 的卡片逐一换到第一个盒子 中．再将标号为 $n+1, n+2,\cdots, 2n$ 的卡片换到第二个盒子中，以此类推，直至将标号为 $n^{2}-2 n+1, n^{2}-2 n+2, \cdots, n^{2}-n$ 的卡片换到第 $n-1$ 个盒子 中．在完成后面盒子的交换时前面盒子中的卡片不会变动，故此时剩余的标号为 $n^{2}-n+1, n^{2}-n+2, \cdots, n^{2}$ 的卡片必然都在最后一个盒子中，即此时每个盒子中卡片的标号是连续的 $n$ 个整数，证毕．
答案
解析
备注
