求最大正整数 $m$，使得可以在 $m$ 行 $8$ 列的方格表的每个方格中填入 $C、G、M、O$ 这 $4$ 个字母之一，并且具有如下性质：对于方格表的任意 不同两行，至多存在一列，使得这两行在此列处的字母相同
【难度】
【出处】
2016第15届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
最大的 $m=5$．首先给出构造，如下表．
下面证明 $m\geqslant 6$ 无法满足题目要求．事实上，若 $m=6$ 时无法满足题目要求．当 $m>6$ 时只需考虑其中 $6$ 行即可说明无法满足题目要求，下面只需证明 $m=6$ 时无法满足题目要求．
对任意整数 $a$，显然 $(a-1)(a-2) \geqslant 0$，故 $a(a-1) \geqslant 2(a-1)$．即 $C_{a}^{2} \geqslant a-1$．
考虑任意一列，设这一列的 $C、G,M、O$ 分别有 $a_1、a_2、a_3、a_4$ 个，则由上式知 $C_{a_{1}}^{2}+C_{a_{2}}^{2}+C_{a_{3}}^{2}+C_{a_{4}}^{2} \geqslant a_{1}-1+a_{2}-1+a_{3}-1+a_{4}-1=2$．
这说明至少有 $2$ 个“行对“（即两个行组成的无序对），每一对的两行在该列处的字母相同．由于 $2\times 8>C_{6}^{2}$，故存在两列，使得这两列对应的“行对＇有重复，则对这个重复的“行对”所含的两行，至少有两列满足，这两行在此列的字母相同，矛盾．
综上所述，$m$ 的最大值为 $5$．
下面证明 $m\geqslant 6$ 无法满足题目要求．事实上，若 $m=6$ 时无法满足题目要求．当 $m>6$ 时只需考虑其中 $6$ 行即可说明无法满足题目要求，下面只需证明 $m=6$ 时无法满足题目要求．对任意整数 $a$，显然 $(a-1)(a-2) \geqslant 0$，故 $a(a-1) \geqslant 2(a-1)$．即 $C_{a}^{2} \geqslant a-1$．
考虑任意一列，设这一列的 $C、G,M、O$ 分别有 $a_1、a_2、a_3、a_4$ 个，则由上式知 $C_{a_{1}}^{2}+C_{a_{2}}^{2}+C_{a_{3}}^{2}+C_{a_{4}}^{2} \geqslant a_{1}-1+a_{2}-1+a_{3}-1+a_{4}-1=2$．
这说明至少有 $2$ 个“行对“（即两个行组成的无序对），每一对的两行在该列处的字母相同．由于 $2\times 8>C_{6}^{2}$，故存在两列，使得这两列对应的“行对＇有重复，则对这个重复的“行对”所含的两行，至少有两列满足，这两行在此列的字母相同，矛盾．
综上所述，$m$ 的最大值为 $5$．
答案
解析
备注
