设 $n$ 是大于 $1$ 的正整数，$a_{1}^{{}},a_{2}^{{}},\cdots ,a_{n}^{{}}$ 是实数．证明：$$\displaystyle \dfrac{3{{\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{(2k-n-1) }{{a}_{k}} \right]}^{2}}}{{{n}^{2}}-1}+{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{ }{{a}_{i}} \right)}^{2}}\leqslant n\sum\limits_{i=1}^{n}{ }a_{i}^{2}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据柯西不等式，有
$\displaystyle n\sum\limits_{i=1}^{n}{ }a_{i}^{2}-{{\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{ }{{a}_{i}} \right)}^{2}}=\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{{}}{ }{{(a_{i}^{{}}-{{a}_{j}})}^{2}}\geqslant \dfrac{{{\left[ \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{{}}{ }(i-j)(a_{i}^{{}}-{{a}_{j}})\right]}^{2}}}{\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{{}}{ }{{(i-j)}^{2}}},$
而
$\displaystyle \begin{align}
& \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{{}}{ }{{(i-j)}^{2}} \text{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{ }(n-k){{k}^{2}}=n\sum\limits_{k=1}^{n}{ }{{k}^{2}}-\sum\limits_{k=1}^{n}{ }{{k}^{3}}\\
& \quad \quad \quad \quad \quad =\dfrac{{{n}^{2}}(n+1)(2n+1)}{6}-\dfrac{{{n}^{2}}{{(n+1)}^{2}}}{4}=\dfrac{{{n}^{2}}({{n}^{2}}-1)}{12},\\
\end{align}$
$\displaystyle \begin{align}
&\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{{}}{ (i-j)}(a_{i}^{{}}-{{a}_{j}}) \text{=}\sum\limits_{k=1}^{n}{ }{{a}_{k}}\left[\sum\limits_{k<j\leqslant n}^{{}}{ }(k-j)-\sum\limits_{1\leqslant i<k}^{n}{ }(i-k)\right] \\
& \quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad=\sum\limits_{k=1}^{n}{ }{{a}_{k}}\left[ -\dfrac{(n-k)(n-k+1)}{2}+\dfrac{k(k-1)}{2}\right] \\
& \quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\sum\limits_{k=1}^{n}{ }\dfrac{n(2k-1-n)}{2}{{a}_{k}},\\
\end{align}$
故
$\displaystyle n\sum\limits_{i=1}^{n}{ }a_{i}^{2}-{{\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{ }{{a}_{i}} \right)}^{2}}\geqslant \dfrac{{{\left[\sum\limits_{k=1}^{n}{ }\dfrac{n(2k-1-n)}{2}{{a}_{k}} \right]}^{2}}}{\dfrac{{{n}^{2}}({{n}^{2}}-1)}{12}}\text{=}\dfrac{3{{\left[\sum\limits_{k=1}^{n}{(2k-n-1) }{{a}_{k}} \right]}^{2}}}{{{n}^{2}}-1},$
证毕．
$\displaystyle n\sum\limits_{i=1}^{n}{ }a_{i}^{2}-{{\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{ }{{a}_{i}} \right)}^{2}}=\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{{}}{ }{{(a_{i}^{{}}-{{a}_{j}})}^{2}}\geqslant \dfrac{{{\left[ \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{{}}{ }(i-j)(a_{i}^{{}}-{{a}_{j}})\right]}^{2}}}{\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{{}}{ }{{(i-j)}^{2}}},$
而
$\displaystyle \begin{align}
& \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{{}}{ }{{(i-j)}^{2}} \text{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{ }(n-k){{k}^{2}}=n\sum\limits_{k=1}^{n}{ }{{k}^{2}}-\sum\limits_{k=1}^{n}{ }{{k}^{3}}\\
& \quad \quad \quad \quad \quad =\dfrac{{{n}^{2}}(n+1)(2n+1)}{6}-\dfrac{{{n}^{2}}{{(n+1)}^{2}}}{4}=\dfrac{{{n}^{2}}({{n}^{2}}-1)}{12},\\
\end{align}$
$\displaystyle \begin{align}
&\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}^{{}}{ (i-j)}(a_{i}^{{}}-{{a}_{j}}) \text{=}\sum\limits_{k=1}^{n}{ }{{a}_{k}}\left[\sum\limits_{k<j\leqslant n}^{{}}{ }(k-j)-\sum\limits_{1\leqslant i<k}^{n}{ }(i-k)\right] \\
& \quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad=\sum\limits_{k=1}^{n}{ }{{a}_{k}}\left[ -\dfrac{(n-k)(n-k+1)}{2}+\dfrac{k(k-1)}{2}\right] \\
& \quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\sum\limits_{k=1}^{n}{ }\dfrac{n(2k-1-n)}{2}{{a}_{k}},\\
\end{align}$
故
$\displaystyle n\sum\limits_{i=1}^{n}{ }a_{i}^{2}-{{\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{ }{{a}_{i}} \right)}^{2}}\geqslant \dfrac{{{\left[\sum\limits_{k=1}^{n}{ }\dfrac{n(2k-1-n)}{2}{{a}_{k}} \right]}^{2}}}{\dfrac{{{n}^{2}}({{n}^{2}}-1)}{12}}\text{=}\dfrac{3{{\left[\sum\limits_{k=1}^{n}{(2k-n-1) }{{a}_{k}} \right]}^{2}}}{{{n}^{2}}-1},$
证毕．
答案
解析
备注
