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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19678 5d19bb69210b28021fc77bcc 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且对任意正整数 $n$，均有 $a_{n+1}=a_{n}-\dfrac{1}{2} a_{n}^{2}$．记 $T_{n}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}$．求证：对任意正整数 $n$，都有 $\dfrac{2 n+2}{n+3} \leqslant T_{n} \leqslant \dfrac{2 n+1}{n+2}$． 2022-04-17 19:43:52
19677 5d19bbf7210b280220ed532e 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $C_{1} : \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$，$F$ 为椭圆 $C_1$ 的左焦点．点 $M$ 为椭圆 $C_1$ 上任意一点，过 $M$ 作椭圆的切线并与圆 $C_{2} :(x-1)^{2}+y^{2}=10$ 交于 $A,B$ 两点，求证：$\angle AFB$ 为定值． 2022-04-17 19:43:52
19676 5d19bc5d210b280220ed5336 高中 解答题 高中习题 已知 $k$ 为正整数，且对任意正实数 $a,b,c$，不等式 $a^{2}+b^{3}+c^{4}+2019 \geqslant k(a+b+c)$ 恒成立．求 $k$ 的最大值． 2022-04-17 19:42:52
19675 5d19bcba210b28021fc77bd1 高中 解答题 高中习题 已知 $S=\{1,2,3, \cdots, 2019\}$．求最小的正整数 $n$，使得对 $S$ 的任意 $n$ 圆子集 $T$，一定可以找到 $T$ 的三个不同元素 $a,b,c$，使得 $a+b+c=2019$． 2022-04-17 19:41:52
19674 5d19bf0a210b280220ed533c 高中 解答题 高中习题 如图在 $\triangle ABC$ 中，已知点 $D$ 为 $BC$ 边上一点．$I_{1}, I_{2}$ 分别为 $\triangle A B D, \triangle A D C$ 的内心，$J_{1}, J_{2}$ 分别为 $\triangle A B D, \triangle A D C$ 的点 $A$ 所对旁心．$\triangle AI_1I_2$ 的外接圆分别交 $AB,AC$ 于点 $X,Y$，$\triangle AJ_1J_2$ 的外接圆分别交 $AB,AC$ 延长线于点 $X^{\prime} , Y^{\prime}$．
求证：$B X-B X^{\prime}=C Y-C Y^{\prime}$．		 2022-04-17 19:41:52
19673 5d19c098210b28021fc77bdb 高中 解答题 高中习题 任意给定质数 $p$．证明：只有有限个正整数 $k$，使得存在 $k$ 个不同的整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$，满足多项式 $f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{k}\right)+p$ 在整数范围内可约．
注：多项式 $f(x)$ 在整数范围内可约，是指存在次数小于 $f(x)$ 的整系数多项式 $g(x)$ 和 $h(x)$，使得 $f(x)=g(x) \cdot h(x)$．		 2022-04-17 19:40:52
19672 5d19a4ca210b28021fc77b7f 高中 解答题 自招竞赛 如图在圆内接 $\triangle ABC$ 中，$\angle A$ 为最大角，不含点 $A$ 的 弧 $\overparen{BC}$ 上两点 $D、E$ 分别为弧 $\overparen{ABC},\overparen{ACB}$ 的中点记过点 $A、B$ 且与 $AC$ 相切的圆为 $\odot O_1$，，过点 $A、E$ 且与 $AD$ 相切的圆为 $\odot O_2$，$\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 交于点 $A、P$．证明：$ AP$ 平分 $\angle BAC$． 2022-04-17 19:40:52
19671 5d19a934210b280220ed52b5 高中 解答题 自招竞赛 给定质数 $p$．设 $A= (a_{ij})$ 是一个 $p \times p$ 的矩阵，满足 $\left\{a_{i j} | 1 \leqslant i, j \leqslant p\right\}=\left\{1,2, \cdots, p^{2}\right\}$．
允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上 $1$ 或同时减去 $1$．若可以通过有限多次上述操作将 $A$ 中元素全变为 $0$，则称 $A$ 是一个“好矩阵＂．求好矩阵 $A$ 的个数．		 2022-04-17 19:39:52
19670 5d19af50210b280220ed52da 高中 解答题 自招竞赛 证明：对于任意实数 $M>2$，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列 $a_1 ,a_2,\cdots$：
（1）对每个正整数 $i$，有 $a_i>M^i$；
（2）当且仅当整数 $ n\ne 0 $ 时，存在正整数 $ m $ 以及 $ b_{1},b_{2},\cdots,b_{m} \in\{-1,1\} $，使得 $ n=b_{1} a_{1}+b_{2} a_{2}+\cdots+b_{m} a_{m}$．		 2022-04-17 19:38:52
19669 5d19b4db210b280220ed52fc 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)=(x+a)(x+b)$（$a ,b$ 是给定的正实数），$n\geqslant 2$ 为给定的整数．对满足 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1$ 的非负实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$，求 $\displaystyle \boldsymbol{F}=\sum\limits_{1 \leqslant i<j \leqslant n} \min \left\{f\left(x_{i}\right), f\left(x_{j}\right)\right\}$ 的最大值． 2022-04-17 19:38:52
19668 5d19d2e0210b28021fc77c01 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为无平方因子的正偶数，$k$ 为整数，$p$ 为质数，满足 $p<2 \sqrt{n}, p \not | n, p |\left(n+k^{2}\right)$
证明：$n$ 可以表示为 $ab+bc+ca$，其中，$a、b、c$ 为互不相同的正整数．		 2022-04-17 19:37:52
19667 5d19d319210b28021fc77c06 高中 解答题 自招竞赛 求满足下面条件的最小正整数 $k$：对集合 $S=\{1,2, \cdots, 2,012\}$ 的任意一个 $k$ 元子集 $A$，都存在 $S$ 中的三个互不相同的元素 $a、b、c$，使得 $a+b、b+c、c+a$ 均在集合 $A$ 中． 2022-04-17 19:36:52
19666 5d19e69b210b280220ed53b2 高中 解答题 自招竞赛 两个半径不相等的圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 交于点 $A、B$，点 $C、D$ 分别在圆 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ 2上，且线段 $CD$ 以 为中点，延长 $DB$ 与圆 $\Gamma_1$ 交于点 $E$，延长 $CB$ 与圆 $\Gamma_2$ 交于点 $F$，设线段 $CD、EF$ 的中垂线分别为 $l_1,l_2$．证明：
（1）$l_1$ 与 $l_2$ 相交；
（2）若 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$，则三条线段 $CA、AP、PE$ 能构成一个直角三角形．		 2022-04-17 19:36:52
19665 5d19e8fa210b28021fc77c31 高中 解答题 自招竞赛 确定所有由整数构成的非空集合 $S$，满足：若 $m,n\in S$（$m,n$ 可相同），则 $3m-2n\in S$． 2022-04-17 19:35:52
19664 5d19e94d210b280220ed53b8 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正实数 $t$ 满足：存在一个由实数组成的无限集合 $X$，使得对任意的 $x,y,z\in X$（x，y，z可相同），及任意实数 $a$ 与正实数 $d$，均有 $\max \{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>t d$． 2022-04-17 19:35:52
19663 5d1abdfc210b280220ed53db 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 2$．设 $n$ 个非空有限集 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 满足：$\left|A_{i} \Delta A_{j}\right|=|i-j|(i, j \in\{1,2, \cdots, n\})$，规定 $X \Delta Y=\{a | a \in X, a \notin Y\} \cup\{a | a \in Y, a \notin X\}$．
求 $\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\cdots+\left|A_{n}\right|$ 的最小值．		 2022-04-17 19:34:52
19662 5d1abc15210b280220ed53d1 高中 解答题 自招竞赛 对正整数 $n$ 及整数 $i(0\leqslant i\leqslant n)$，设 $\dbinom{i}{n}\equiv c(n,i)\pmod{2}(c(n,i)\in\{0,1\})$．记 $\displaystyle f(n, q)=\sum\limits_{i=0}^{n} c(n, i) q^{i}$．又设 $m, n, q \in \mathbf{N}_{+}$，且 $q+1$ 不是 $2$ 的方幂．证明：若 $f(m, q) | f(n, q)$，则对任意正整数 $r$ 有 $f(m, r) | f(n, r)$． 2022-04-17 19:34:52
19661 5d1abe44210b280220ed53e0 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $m、n$．求具有下述性质的最小整数 $N(N\geqslant m)$：若一个 $N$ 元整数集含有模 $m$ 的完全剩余系，则其有一个非空子集，其元素和被 $n$ 整除． 2022-04-17 19:33:52
19660 5d1af785210b28021fc77cdb 高中 解答题 高中习题 对大于 $1$ 的整数 $n$，定义集合 $D(n)=\left\{a-b|{n}=a b, a, b \in \mathbb{Z}_{+}, a>b\right\}$
证明：对任意大于 $1$ 的整数 $k$，总存在 $K$ 个互不相同且大于 $1$ 的整数 $n, n_{2}, \cdots, n_{k}$ 使得 $D\left(n_{1}\right) \bigcap D\left(n_{2}\right) \bigcap \cdots \bigcap D\left(n_{k}\right)$ 的元素个数大于或等于 $2$．		 2022-04-17 19:33:52
19659 5d1afaa3210b280220ed54a3 高中 解答题 高中习题 证明存在唯一的函数 $f : \mathbf Z_{+} \rightarrow Z_{+}$ 满足
$f(1)=f(2)=1,f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1))(n \geqslant 3)$ ①
并对每个整数 $m\geqslant 2$，求 $f(2^m)$ 的值．		 2022-04-17 19:33:52
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