已知 $\begin{cases}
& \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =\sqrt{3} \\
& \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =\sqrt{2} \\
& \cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =-1 \\
\end{cases} $，求 $\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma$ 和 $\tan(\alpha+\beta+\gamma)$．
& \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =\sqrt{3} \\
& \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =\sqrt{2} \\
& \cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =-1 \\
\end{cases} $，求 $\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma$ 和 $\tan(\alpha+\beta+\gamma)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$，$z_1+z_2+z_3=\sqrt{2}+\sqrt{3}{\rm{i}}$
$z_1^2+z_2^2+z_3^2=-1+m{\rm{i}}$
$z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=\dfrac{1}{2}[(z_1+z_2+z_3)^2-(z_1^2+z_2^2+z_3^2)]=(\sqrt{6}-\dfrac{m}{2}){\rm{i}}$
$z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=z_1z_2z_3(\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3})$
两边取模 $|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1|=|\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}|$
得到 $|\sqrt{6}-\dfrac{m}{2}|=\sqrt{5}$
解得 $m=2\sqrt{6}\pm2\sqrt{5}$，舍掉增根．
即 $m=2\sqrt{6}-2\sqrt{5}$．
于是 $z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=\sqrt{5}{\rm{i}}$．
进而 $z_1z_2z_3=-\sqrt{3}+\sqrt{2}{\rm{i}}$．
最终 $\tan(\alpha+\beta+\gamma)=-\dfrac{\sqrt6}{3}$．
$z_1^2+z_2^2+z_3^2=-1+m{\rm{i}}$
$z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=\dfrac{1}{2}[(z_1+z_2+z_3)^2-(z_1^2+z_2^2+z_3^2)]=(\sqrt{6}-\dfrac{m}{2}){\rm{i}}$
$z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=z_1z_2z_3(\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3})$
两边取模 $|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1|=|\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}|$
得到 $|\sqrt{6}-\dfrac{m}{2}|=\sqrt{5}$
解得 $m=2\sqrt{6}\pm2\sqrt{5}$，舍掉增根．
即 $m=2\sqrt{6}-2\sqrt{5}$．
于是 $z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=\sqrt{5}{\rm{i}}$．
进而 $z_1z_2z_3=-\sqrt{3}+\sqrt{2}{\rm{i}}$．
最终 $\tan(\alpha+\beta+\gamma)=-\dfrac{\sqrt6}{3}$．
答案
解析
备注
