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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19698 5d197c56210b280220ed5211 高中 解答题 高中习题 试求每个数码均至少出现两次的五位数的个数． 2022-04-17 19:53:52
19697 5d197c79210b280220ed5217 高中 解答题 高中习题 集合 $A$ 中元素均是正整数，具有性质：若 $a\in A$，则 $12-a\in12-a$．试确定这样的 $A$ 的个数． 2022-04-17 19:53:52
19696 5d197c95210b280220ed521e 高中 解答题 高中习题 集合 $A,B,C$ 的并集 $A\bigcup B\bigcup C=\{1,2,\cdots,10\}$，求这样的有序三元组 $(A,B,C)$ 有多少组． 2022-04-17 19:52:52
19695 5d197da7210b28021fc77b36 高中 解答题 高中习题 从数 $1,2,\cdots,14$ 中，按由小到大的顺序取出 $a_1,a_2,a_3$，且满足$$a_2-a_1\ge3,a_3-a_2\ge3.$$试求所有符合上述要求的不同的取法的种数． 2022-04-17 19:51:52
19694 5d197de5210b280220ed522b 高中 解答题 高中习题 在集合 $\{1,2,\cdots,100\}$ 的子集中，共有多少个子集至少包含一个奇数？ 2022-04-17 19:51:52
19693 5d197ec4210b280220ed5230 高中 解答题 高中习题 数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的每一项为 $0,1,\cdots,k-1$ 之一（$k\ge2$ 为整数），这样的数列中，$0$ 出现偶数次的有多少个？（答案用 $n$ 与 $k$ 的简单函数表示．） 2022-04-17 19:50:52
19692 5d1971da210b28021fc77af7 高中 解答题 自招竞赛 将 $m\times n$（$m,n$ 均为正整数）的方格表中每一个小方格染成白色或黑色，使得每个 $2\times 2$ 的小正方形中四个方格至多只有两个黑格．问：黑格最多有多少个？ 2022-04-17 19:50:52
19691 5d19722b210b28021fc77afc 高中 解答题 自招竞赛 求所有正整数 $n$，使得存在正整数 $x$ 和 $y$，满足 $(x,y)=1$，且 $x^n+y^n$ 是 $(x+y)^4$ 的倍数． 2022-04-17 19:50:52
19690 5d197317210b28021fc77b02 高中 解答题 自招竞赛 已知 $p$ 和 $q$ 是两个互素的正整数．求证：对任意实数 $x$，如下不等式均成立 $|\sin (p q x) \cdot \sin (x)| \leqslant p q|\sin (p x) \cdot \sin (q x)|$ 2022-04-17 19:50:52
19689 5d15c3a0210b280220ed514b 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geqslant 3)$ 是实数．证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1} \leqslant\left[\frac{n}{2}\right](M-m)^{2}$，其中，$a_{n+1}=a_{1}, M=\max\limits
_{1 \leqslant i \leqslant n} a_{i}, m=\min\limits
_{1 \leqslant i \leqslant n} a_{i},[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．		 2022-04-17 19:49:52
19688 5d15ce7c210b280220ed516a 高中 解答题 自招竞赛 如图设 $D$ 是锐角 $\triangle ABC$ 外接圆 $\Gamma$ 上弧 $\overparen{BC}$ 的中点，点 $X$ 在弧 $\overparen{BD}$ 上，$E$ 是弧 $\overparen{ABX}$ 的中点，$S$ 是弧 $\overparen{AC}$ 上一点，直线 $SD$ 与 $BC$ 交于点 $R$，$SE$ 与 $AX$ 交于点 $T$．证明：若 $RT\parallel DE$，则 $\triangle ABC$ 的内心在直线 $RT$ 上． 2022-04-17 19:49:52
19687 5d15d3a9210b280220ed5189 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$ 是一个有限实数集，$A_1 ,A_2 , \cdots, A_n$ 是 $A$ 的非空子集，满足
（1）$A$ 中所有元素之和为 $0$；
（2）对任意 $x_{i} \in A_{i}(i=1,2, \cdots, n)$，都有 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}>0$．
证明：存在 $1 \leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k} \leqslant n$，使得 $\left|A_{i_{1}} \bigcup A_{i_{2}} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_{k}}\right|<\dfrac{k}{n}|A|$，其中，$|X|$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数．		 2022-04-17 19:48:52
19686 5d15ef91210b280220ed51b0 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n(n\geqslant 4)$，对任意满足 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}>0$ 的非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$，求 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}$ 的最大值． 2022-04-17 19:47:52
19685 5d15efd5210b28021fc77ac6 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于任意给定的正整数 $m、n$，总存在无穷多组互质的正整数 $a、b$，使得 $(a+b) |\left(a m^{a}+b n^{b}\right)$． 2022-04-17 19:46:52
19684 5d15ef04210b28021fc77abe 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是给定的正整数，集合 $S=\{1,2,\cdots,n\}$．对非空的有限实数集合 $A$ 和 $B$，求 $|A \otimes S|+|B \otimes S|+|C \otimes S|$ 的最小值，其中，$C=A+B=\{a+b | a \in A, b \in B\}$，$X(\otimes) Y=\{x | x$ 恰好属于 $X$ 和 $Y$ 中的一个 $\}$，$|X|$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数． 2022-04-17 19:46:52
19683 5d19a116210b280220ed5276 高中 解答题 高中习题 证明： 2022-04-17 19:46:52
19682 5d19a4f9210b28021fc77b85 高中 解答题 高中习题 证明：$\displaystyle \sum\limits_{k=m}^n\dbinom{n}{k}\dbinom{k}{m}=2^{n-m}\dbinom{n}{m}$ 2022-04-17 19:46:52
19681 5d19a614210b280220ed52a0 高中 解答题 高中习题 证明恒等式：$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}\dbinom{n+i}{i}=\sum\limits_{i=0}^n2^i\dbinom{n}{i}^2$ 2022-04-17 19:45:52
19680 5d19b92c210b28021fc77bbc 高中 解答题 高中习题 五边形 $ABCDE$ 中，连结对角线 $BE$，得到 $\triangle ABE$ 是一个边长为 $1$ 的正三角形，四边形 $BCDE$ 为正方形．将这个五边形沿 $BE$ 翻折，使得平面 $ABE$ 与平面 $BCDE$ 垂直．此时四棱锥 $A-BCDE$ 的外接球半径为 ． 2022-04-17 19:44:52
19679 5d19baff210b280220ed5326 高中 解答题 高中习题 求函数 $y=\tan (645 x)-\tan (670 x)+\tan (695 x)$ 在 $x \in[0, \pi]$ 中的零点个数． 2022-04-17 19:44:52
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