序号 | ID | 年级 | 类型 | 来源 | 摘要 | 创建时间 |
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19698 | 5d197c56210b280220ed5211 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 试求每个数码均至少出现两次的五位数的个数. | 2022-04-17 19:53:52 |
19697 | 5d197c79210b280220ed5217 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 集合 $A$ 中元素均是正整数,具有性质:若 $a\in A$,则 $12-a\in12-a$.试确定这样的 $A$ 的个数. | 2022-04-17 19:53:52 |
19696 | 5d197c95210b280220ed521e | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 集合 $A,B,C$ 的并集 $A\bigcup B\bigcup C=\{1,2,\cdots,10\}$,求这样的有序三元组 $(A,B,C)$ 有多少组. | 2022-04-17 19:52:52 |
19695 | 5d197da7210b28021fc77b36 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 从数 $1,2,\cdots,14$ 中,按由小到大的顺序取出 $a_1,a_2,a_3$,且满足$$a_2-a_1\ge3,a_3-a_2\ge3.$$试求所有符合上述要求的不同的取法的种数. | 2022-04-17 19:51:52 |
19694 | 5d197de5210b280220ed522b | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 在集合 $\{1,2,\cdots,100\}$ 的子集中,共有多少个子集至少包含一个奇数? | 2022-04-17 19:51:52 |
19693 | 5d197ec4210b280220ed5230 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的每一项为 $0,1,\cdots,k-1$ 之一($k\ge2$ 为整数),这样的数列中,$0$ 出现偶数次的有多少个?(答案用 $n$ 与 $k$ 的简单函数表示.) | 2022-04-17 19:50:52 |
19692 | 5d1971da210b28021fc77af7 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 将 $m\times n$($m,n$ 均为正整数)的方格表中每一个小方格染成白色或黑色,使得每个 $2\times 2$ 的小正方形中四个方格至多只有两个黑格.问:黑格最多有多少个? | 2022-04-17 19:50:52 |
19691 | 5d19722b210b28021fc77afc | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 求所有正整数 $n$,使得存在正整数 $x$ 和 $y$,满足 $(x,y)=1$,且 $x^n+y^n$ 是 $(x+y)^4$ 的倍数. | 2022-04-17 19:50:52 |
19690 | 5d197317210b28021fc77b02 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 已知 $p$ 和 $q$ 是两个互素的正整数.求证:对任意实数 $x$,如下不等式均成立 $|\sin (p q x) \cdot \sin (x)| \leqslant p q|\sin (p x) \cdot \sin (q x)|$ | 2022-04-17 19:50:52 |
19689 | 5d15c3a0210b280220ed514b | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geqslant 3)$ 是实数.证明:$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1} \leqslant\left[\frac{n}{2}\right](M-m)^{2}$,其中,$a_{n+1}=a_{1}, M=\max\limits _{1 \leqslant i \leqslant n} a_{i}, m=\min\limits _{1 \leqslant i \leqslant n} a_{i},[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数. |
2022-04-17 19:49:52 |
19688 | 5d15ce7c210b280220ed516a | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 如图![]() |
2022-04-17 19:49:52 |
19687 | 5d15d3a9210b280220ed5189 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $A$ 是一个有限实数集,$A_1 ,A_2 , \cdots, A_n$ 是 $A$ 的非空子集,满足 (1)$A$ 中所有元素之和为 $0$; (2)对任意 $x_{i} \in A_{i}(i=1,2, \cdots, n)$,都有 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}>0$. 证明:存在 $1 \leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k} \leqslant n$,使得 $\left|A_{i_{1}} \bigcup A_{i_{2}} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_{k}}\right|<\dfrac{k}{n}|A|$,其中,$|X|$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数. |
2022-04-17 19:48:52 |
19686 | 5d15ef91210b280220ed51b0 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 给定整数 $n(n\geqslant 4)$,对任意满足 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}>0$ 的非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$,求 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}$ 的最大值. | 2022-04-17 19:47:52 |
19685 | 5d15efd5210b28021fc77ac6 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 求证:对于任意给定的正整数 $m、n$,总存在无穷多组互质的正整数 $a、b$,使得 $(a+b) |\left(a m^{a}+b n^{b}\right)$. | 2022-04-17 19:46:52 |
19684 | 5d15ef04210b28021fc77abe | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $n$ 是给定的正整数,集合 $S=\{1,2,\cdots,n\}$.对非空的有限实数集合 $A$ 和 $B$,求 $|A \otimes S|+|B \otimes S|+|C \otimes S|$ 的最小值,其中,$C=A+B=\{a+b | a \in A, b \in B\}$,$X(\otimes) Y=\{x | x$ 恰好属于 $X$ 和 $Y$ 中的一个 $\}$,$|X|$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数. | 2022-04-17 19:46:52 |
19683 | 5d19a116210b280220ed5276 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 证明: | 2022-04-17 19:46:52 |
19682 | 5d19a4f9210b28021fc77b85 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 证明:$\displaystyle \sum\limits_{k=m}^n\dbinom{n}{k}\dbinom{k}{m}=2^{n-m}\dbinom{n}{m}$ | 2022-04-17 19:46:52 |
19681 | 5d19a614210b280220ed52a0 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 证明恒等式:$\displaystyle \sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}\dbinom{n+i}{i}=\sum\limits_{i=0}^n2^i\dbinom{n}{i}^2$ | 2022-04-17 19:45:52 |
19680 | 5d19b92c210b28021fc77bbc | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 五边形 $ABCDE$ 中,连结对角线 $BE$,得到 $\triangle ABE$ 是一个边长为 $1$ 的正三角形,四边形 $BCDE$ 为正方形.将这个五边形沿 $BE$ 翻折,使得平面 $ABE$ 与平面 $BCDE$ 垂直.此时四棱锥 $A-BCDE$ 的外接球半径为 |
2022-04-17 19:44:52 |
19679 | 5d19baff210b280220ed5326 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 求函数 $y=\tan (645 x)-\tan (670 x)+\tan (695 x)$ 在 $x \in[0, \pi]$ 中的零点个数. | 2022-04-17 19:44:52 |