设 $x=\frac{4}{\left( \sqrt{5}+1 \right)\left( \sqrt[4]{5}+1 \right)\left( \sqrt[8]{5}+1 \right)\left( \sqrt[16]{5}+1 \right)}$ 。试求 ${{\left( x+1 \right)}^{48}}$ 。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
125
【解析】
$y=\sqrt[16]{5}\ne1$，则有
$x=\frac{4}{\left({{y}^{8}}+1 \right)\left( {{y}^{4}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)\left(y+1 \right)}$
$=\frac{4\left(y-1 \right)}{\left( {{y}^{8}}+1 \right)\left( {{y}^{4}}+1 \right)\left({{y}^{2}}+1 \right)\left( y+1 \right)\left( y-1 \right)}$
$=\frac{4\left(y-1 \right)}{{{y}^{16}}-1}$ 。
因为 $y=\sqrt[16]{5}$，代入上式得 $x=\frac{4\left(\sqrt[16]{5-1} \right)}{5-1}=\sqrt[16]{5}-1$ 。因此 ${{\left( x+1\right)}^{48}}={{\left( \sqrt[16]{5} \right)}^{48}}={{5}^{3}}=125$ 。
$x=\frac{4}{\left({{y}^{8}}+1 \right)\left( {{y}^{4}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)\left(y+1 \right)}$
$=\frac{4\left(y-1 \right)}{\left( {{y}^{8}}+1 \right)\left( {{y}^{4}}+1 \right)\left({{y}^{2}}+1 \right)\left( y+1 \right)\left( y-1 \right)}$
$=\frac{4\left(y-1 \right)}{{{y}^{16}}-1}$ 。
因为 $y=\sqrt[16]{5}$，代入上式得 $x=\frac{4\left(\sqrt[16]{5-1} \right)}{5-1}=\sqrt[16]{5}-1$ 。因此 ${{\left( x+1\right)}^{48}}={{\left( \sqrt[16]{5} \right)}^{48}}={{5}^{3}}=125$ 。
答案
解析
备注
