给出三个四面体 $A_{i} B_{i} C_{i} D_{i}(i=1,2,3)$，过点 $B_{i}, C_{i}, D_{i}$ 作平面 $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}(i=1,2,3)$，分别与棱 $A_{i} B_{i}, A_{i} C_{i}, A_{i} D_{i}$ 垂直 $(i=1,2,3 )$．如果九个平面 $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}(i=1,2,3)$ 相较于一点 $E$，而三点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 在同一直线 $l$ 上，求三个四面体的外接球面的交集．（形状怎样？位置如何？）
【难度】
【出处】
1988第3届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
先对一个四面体来讨论，设 $ABCD$ 是四面体，作 $ABCD$ 的外接球，过 $A$ 作外接球的直径 $AP$（$P$ 为联结 $A$ 与外接球心 $O$ 的线段延长后与外接球面的交点），由于 $AP$ 是外接球的直径，$B,C,D$ 都在球面上，因此 $\angle A B P=\angle A C P=\angle A D P=\frac{\pi}{2}$．因此知道点 $P$ 在过点 $B$ 所作的与 $AB$ 垂直的平面上，也在过 $C$ 所作的与 $AC$ 垂直的平面上，也在过 $D$ 所作的与 $AD$ 垂直的平面上（这里，点 $P$ 也可能与 $B,C,D$ 中某一点重合，但下面的结论依然正确）．从而，过 $B,C,D$ 分别作棱 $A B, A C, A D$ 的垂直平面，这三个平面的交点与 $A$ 的连线即为 $ABCD$ 的外接球直径．
由上所述，三个四面体的外接球即为分别以 $A_{1} E, A_{2} E, A_{3} E$ 为直径的球．由于 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 在同一直线上，本题的结论与 $A_{1}, A_{2},A_{3}$ 所在的直线 $l$ 及点 $E$ 的位置有关．
（1）如果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 重合，三个外接球重合，而三个外接球面的交集是个球面．
（2）如果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 不全重合（这 $l$ 是唯一确定的），而 $E$ 也在直线 $l$ 上，这时三个外接球面的交集仅为一点（即点 $E$）．这包括了 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 中有两点重合情况．
（3）如果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 不全重合，且 $E$ 不在 $l$ 上，这时，过 $E$ 作 $l$ 的垂线，垂足记为 $Q$，则三外接球面的交集是以 $EQ$ 为直径的一个圆，此圆在过 $Q$ 作的与 $l$ 垂直的平面上．
由上所述，三个四面体的外接球即为分别以 $A_{1} E, A_{2} E, A_{3} E$ 为直径的球．由于 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 在同一直线上，本题的结论与 $A_{1}, A_{2},A_{3}$ 所在的直线 $l$ 及点 $E$ 的位置有关．
（1）如果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 重合，三个外接球重合，而三个外接球面的交集是个球面．
（2）如果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 不全重合（这 $l$ 是唯一确定的），而 $E$ 也在直线 $l$ 上，这时三个外接球面的交集仅为一点（即点 $E$）．这包括了 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 中有两点重合情况．
（3）如果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 不全重合，且 $E$ 不在 $l$ 上，这时，过 $E$ 作 $l$ 的垂线，垂足记为 $Q$，则三外接球面的交集是以 $EQ$ 为直径的一个圆，此圆在过 $Q$ 作的与 $l$ 垂直的平面上．
答案
解析
备注
