设三个正实数 $a,b,c$ 满足 $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}>2(a^{4}+b^{4}+c^{4} )$．求证：$a,b,c$ 一定是某个三角形的三条边长．
【难度】
【出处】
1988第3届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由假设 $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-2\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)>0$ 即 $(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)>0$
由于 $a,b,c$ 都是正实数，上面不等式的左面至少有三项是正的，由于四项之积为正，故这四项都是正的，从而 $a+b>c, a+c>b, b+c>a$ 所以 $a,b,c$ 必是某三角形的三条边长．
由于 $a,b,c$ 都是正实数，上面不等式的左面至少有三项是正的，由于四项之积为正，故这四项都是正的，从而 $a+b>c, a+c>b, b+c>a$ 所以 $a,b,c$ 必是某三角形的三条边长．
答案
解析
备注
