在有限的实数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(*)$ 中，如果有一段数 $a_{k}, \cdots, a_{k+l-1}$ 的算术平均数大于 $1988$，那么我们把这段数叫做一条"龙"，并把 $a_{k}$ 称为这条龙的"龙头"（如果某一项 $a_m>1988$，那么单独这一项也是龙）．假定 $(*)$ 中至少存在一条龙，证明：$(*)$ 中全体可以作为龙头的项的算术平均数也必定大于 $1988$．
【难度】
【出处】
1988第3届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
在有限的实数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(*)$ 中，一个项 $a_k(2 \leqslant k \leqslant n)$ 是否可以作为龙头，是与在它之前的项 $a_{1}, \cdots, a_{k-1}$ 无关的．如果 $a_{k}(1 \leqslant k \leqslant n)$ 可以作为龙头，把以 $a_k$ 为龙头的项数最少的龙称为以 $a_k$ 为龙头的最短龙．设 $a_k$ 是可以作为龙头的项，而 $a_{k}, a_{k+1}, \cdots, a_{k+i}$ 是以 $a_k$ 为龙头的最短龙，于是当0 $\leqslant i \leqslant l$ 时，$a_{k+i}, a_{k+i+1}, \cdots, a_{k+1}$ 必定是龙，因为由最短龙的意义，$a_{k}, \cdots,a_{k+i-1}$ 不是龙，由 $a_{k}, a_{k+1}, \cdots, a_{k+i-1}$ 的算术平均数小于等于 $1998$ 及 $a_{k}, a_{k+1}, \dots, a_{k+l}$ 的算术平均数大于 $1988$，易见 $a_{k+i}, \cdots, a_{k+l}$ 的算术平均数均大于 $1988$（$i=0$ 的情况显然，所以仅只须考虑 $l>0$ 的情况）．由此，最短龙中的每一项都可以作为龙头．记所给数列 $(*)$ 中可以作为龙头的第一项为 $a_{k_1}$，以 $a_{k_1}$ 为龙头的最短龙为 $a_{k_{1}}+a_{k_{1}+1}, \cdots, a_{k_{1}+l_{1}}$，如果从第 $k_{1}+l_{1}+1$ 起的各项中，还有可以作为龙头的项，把在 $k_{1}+l_{1}+1$ 起的可以作为龙头的最前项记为 $a_{k_2}$，并设以 $x_{k_2}$ 为龙头最短龙为 $a_{k_{2}}, \cdots, a_{k_{2}+l_{2}}$ 然后再看在 $k_{2}+l_{2}+1$ 起的各项中是否再有可以作为龙头的项（即在 $a_{k_{2}+l_{2}+1},a_{k_{2}+l_{2}+2}, \cdots, a_{n}$ 中是否有龙），由于总项数是有限的，在若干次之后再不会有龙．这样，设总共得到了 $j$ 条最短龙 $a_{k_{1}}, \cdots, a_{k_{1}+l_{1}},a_{k_{2}}, \cdots, a_{k_{2}+l_{2}} ; \cdots ; a_{k_{j}}, \cdots, a_{k_{j}+l_{j}}$；由这些龙的取法，$(*)$ 中可以作为龙头的项恰是这 $j$ 条龙中的项．由于 $a_{k_{1}}, \cdots, a_{k_{1}+l_{1}}$ 的算术平均数大于 $1988$，$a_{k_{2}}, \cdots, a_{k_{2}+l_{2}}$ 的算术平均数大于 $1988$，$\cdots, \alpha_{k_{j}}, \cdots, a_{k_{j}+l_{j}}$ 的算术平均数大于 $1988$，所以所有这些项的算术平均数大于 $1988$．即 $(*)$ 中可以作为龙头的项的算术平均数大于 $1988$．
答案
解析
备注
