设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是给定的不全为 $0$ 的实数，$r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n}$ 是实数，如果不等式 $r_{1}\left(x_{1}-a_{1}\right)+r_{2}\left(x_{2}-a_{2}\right)+\cdots+r_{n}\left(x_{n}-a_{n}\right) \leqslant\\\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}-\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$
对任何实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 成立，求 $r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n}$ 的值．
对任何实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 成立，求 $r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n}$ 的值．
【难度】
【出处】
1988第3届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由假设，对任何实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 成立不等式
$r_{1}\left(x_{1}-a_{1}\right)+r_{2}\left(x_{2}-a_{2}\right)+\cdots+r_{n}\left(x_{n}-a_{n}\right) \leqslant \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}-\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$ ①
在 ① 式中令 $x_{k}=2 a_{k}$ 及 $x_{k}=0(k=1,2, \cdots, n)$，则得
$r_{1} a_{1}+r_{2} a_{2}+\cdots+r_{n} a_{n} \leqslant \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$ ②
$r_{1} a_{1}+r_{2} a_{2}+\cdots+r_{n} a_{n} \geqslant \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$ ③
所以 $r_{1} a_{1}+r_{2} a_{2}+\cdots+r_{n} a_{n}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$
从而不等式 ① 变成 $r_{1} x_{1}+r_{2} x_{2}+\cdots+r_{n} x_{n} \leqslant \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}$ ④
由式 ④ 及柯西不等式 $r_{1} a_{1}+r_{2} a_{2}+r_{3} a_{3}+\cdots+r_{n} a_{n} \leqslant \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}} \cdot \sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}}$
即知1 $\leqslant \sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}}$．又因式 ④ 对任何实数 $x_{1}, \cdots, x_{n}$ 成立，令 $x_{k}=r_{k}(k=1,2, \cdots, n)$，就有 $\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}} \leqslant 1$，于是 $r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}=1$．由上所证结论，可知
$\begin{aligned} r_{1} a_{1}+r_{2} a_{2}+\cdots+r_{n} a_{n}= \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}= \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}} \cdot\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}} \end{aligned}$ 由于柯西不等式恰好成为等式．所以有实数 $t$ 使得 $r_{k}=t a_{k}(k=1,2, \cdots, n )$．所以 $t a_{1}^{2}+t a_{2}^{2}+\cdots+t a_{n}^{2}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$ 解得 $t=\dfrac{1}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}}$ 因此 $r_{k}=\dfrac{a_{k}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}} \quad, k=1,2, \cdots, n$
注：本题关键是由不等式 ① 对任何实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 成立即可得出不等式 ④ 对任何实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 成立以及等式 $r_{1} a_{1}+r_{2} a_{2}+\cdots+r_{n} a_{n}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$．而作为题目的要求．并不需要验证这样的 $r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n}$ 确定可保证不等式 ① 成立．
$r_{1}\left(x_{1}-a_{1}\right)+r_{2}\left(x_{2}-a_{2}\right)+\cdots+r_{n}\left(x_{n}-a_{n}\right) \leqslant \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}-\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$ ①
在 ① 式中令 $x_{k}=2 a_{k}$ 及 $x_{k}=0(k=1,2, \cdots, n)$，则得
$r_{1} a_{1}+r_{2} a_{2}+\cdots+r_{n} a_{n} \leqslant \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$ ②
$r_{1} a_{1}+r_{2} a_{2}+\cdots+r_{n} a_{n} \geqslant \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$ ③
所以 $r_{1} a_{1}+r_{2} a_{2}+\cdots+r_{n} a_{n}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$
从而不等式 ① 变成 $r_{1} x_{1}+r_{2} x_{2}+\cdots+r_{n} x_{n} \leqslant \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}$ ④
由式 ④ 及柯西不等式 $r_{1} a_{1}+r_{2} a_{2}+r_{3} a_{3}+\cdots+r_{n} a_{n} \leqslant \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}} \cdot \sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}}$
即知1 $\leqslant \sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}}$．又因式 ④ 对任何实数 $x_{1}, \cdots, x_{n}$ 成立，令 $x_{k}=r_{k}(k=1,2, \cdots, n)$，就有 $\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}} \leqslant 1$，于是 $r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}=1$．由上所证结论，可知
$\begin{aligned} r_{1} a_{1}+r_{2} a_{2}+\cdots+r_{n} a_{n}= \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}= \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}} \cdot\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots+r_{n}^{2}} \end{aligned}$ 由于柯西不等式恰好成为等式．所以有实数 $t$ 使得 $r_{k}=t a_{k}(k=1,2, \cdots, n )$．所以 $t a_{1}^{2}+t a_{2}^{2}+\cdots+t a_{n}^{2}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$ 解得 $t=\dfrac{1}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}}$ 因此 $r_{k}=\dfrac{a_{k}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}} \quad, k=1,2, \cdots, n$
注：本题关键是由不等式 ① 对任何实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 成立即可得出不等式 ④ 对任何实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 成立以及等式 $r_{1} a_{1}+r_{2} a_{2}+\cdots+r_{n} a_{n}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$．而作为题目的要求．并不需要验证这样的 $r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n}$ 确定可保证不等式 ① 成立．
答案
解析
备注
