求证：当 $x>0$ 时，$(x+1){\rm{e}}^x+x^2+3x-4>2\ln{x}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $x>0$ 时，$2\ln{x}=2(\ln{\rm{e}}x-1)\le2({\rm{e}}x-2)$，
（经典不等式 $\ln{x}\leqslant{x-1}$ 的使用，等号当且仅当 $x=\dfrac{1}{{\rm{e}}}$ 时成立）
不等式成立的充分条件为 $(x+1){\rm{e}}^x+x^2+3x-4>2({\rm{e}}x-2)$
即 $(x+1){\rm{e}}^x+x^2+3x>2{\rm{e}}x$
容易得到 ${\rm{e}}^x\geqslant{\rm{e}}x$，$3x>{\rm{e}}x$，$x{\rm{e}}^x+x^2>0$，命题得证．
（经典不等式 $\ln{x}\leqslant{x-1}$ 的使用，等号当且仅当 $x=\dfrac{1}{{\rm{e}}}$ 时成立）
不等式成立的充分条件为 $(x+1){\rm{e}}^x+x^2+3x-4>2({\rm{e}}x-2)$
即 $(x+1){\rm{e}}^x+x^2+3x>2{\rm{e}}x$
容易得到 ${\rm{e}}^x\geqslant{\rm{e}}x$，$3x>{\rm{e}}x$，$x{\rm{e}}^x+x^2>0$，命题得证．
答案
解析
备注
