序号 | ID | 年级 | 类型 | 来源 | 摘要 | 创建时间 |
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20198 | 5cb7e6fb210b28021fc757f7 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 已知 $f(x)$ 是定义在 $[-1,1]$ 的奇函数,且 $f(1)=1$,对 $a,b\in[-1,1],a+b\ne0$,有 $\dfrac{f(a)+f(b)}{a+b}>0$. | 2022-04-17 19:36:57 |
20197 | 5cb7f1a6210b28021fc75808 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 设二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c\in\mathbb{R},a\ne0)$ 满足条件:(1)当 $x\in\mathbb{R}$ 时,$f(x-4)=f(2-x)$,且 $f(x)\geqslant x$;(2)当 $x\in(0,2)$ 时,$f(x)\leqslant\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^2$;(3)$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的最小值为 $0$. 求最大的 $m(m>1)$,使得存在 $t\in\mathbb{R}$,只要 $x\in[1,m]$,就有 $f(x+t)\leqslant x$. |
2022-04-17 19:35:57 |
20196 | 5cb809b7210b28021fc7581e | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 若二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 在 $[0,1]$ 上的值的绝对值不超过 $1$,试问 $|a|+|b|+|c|$ 最大可能的值是多少? | 2022-04-17 19:35:57 |
20195 | 5cb810d4210b280220ed20b4 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | $a,b,c\in\mathbb{R}$,已知方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两根实根,若 $|a(b-c)|>|b^2-ac|+|c^2-ab|$,求证:该方程在区间 $(0,2)$ 内至少有一个根. | 2022-04-17 19:34:57 |
20194 | 5cb9288c210b280220ed215d | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 已知关于 $x$ 的不等式 $|ax+b|<2$(其中参数 $a\ne0$)的解集为 $\{x|2<x<6\}$.求实数 $a,b$ 的值. | 2022-04-17 19:33:57 |
20193 | 5cb928c3210b28021fc7588c | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 在满足不等式 $\log_{(x^2+y^2)}(x+y)\ge1$ 的所有 $x,y$ 中,求 $y$ 的最大值. | 2022-04-17 19:33:57 |
20192 | 5cb9292b210b280220ed2165 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 试选取 $100$ 个数,使得它们满足$$x_1=1,0\leqslant x_k\le2x_{k-1},k=2,3,\cdot,100,$$且使 $S=x_1-x_2+x_3-x_4+\cdots+x_{99}-x_{100}$ 为最大. | 2022-04-17 19:33:57 |
20191 | 5cb929ae210b28021fc75893 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 证明:不存在正整数 $x_1,x_2,\cdots,x_m,m\ge2$,使得 $x_1<x_2<\cdots<x_m$,且 $\dfrac{1}{x_1^3}+\dfrac{1}{x_2^3}+\cdots+\dfrac{1}{x_m^3}=1$. | 2022-04-17 19:32:57 |
20190 | 5cb929fd210b280220ed216d | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 已知 $f(x)=ax^2+bx+c$,其中 $a,b,c$ 为实数,且 $a>100$.问至少存在多少个整数 $x$,使得 $|f(x)|\le50$? | 2022-04-17 19:31:57 |
20189 | 5cb92a58210b280220ed2174 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 设 $a>0,a\ne1$,函数 $f(x)$ 满足条件:$f(\log_ax)=\dfrac{a(x^2-1)}{x(a^2-1)}$,求证:对于任意大于 $1$ 的自然数 $n$,都有 $f(n)>n$. | 2022-04-17 19:31:57 |
20188 | 5cb92ab5210b280220ed2179 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 设 $f(x)=ax^2+px+q$,若不等式 $|f(x)|>2$ 在区间 $[1,5]$ 上无解,试求所有的实数对 $(p,q)$. | 2022-04-17 19:30:57 |
20187 | 5cb932bc210b280220ed218e | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 在直角坐标系 $xOy$ 中,点 $A(x_1,y_1)$ 的点 $B(x_2,y_2)$ 的坐标均为一位正整数,$OA$ 与 $x$ 轴正方向的夹角大于 $45^{\circ}$,$OB$ 与 $x$ 轴正方向的夹角小于 $45^{\circ}$,$B$ 在 $x$ 轴上的射影为 $B^{\prime}$,$A$ 在 $y$ 轴上的射影为 $B^{\prime}$,$\triangle OB^{\prime}B$ 的面积比 $\triangle OA^{\prime}A$ 的面积大 $33.5$.由 $x_1,y_1,x_2,y_2$ 组成四位数 $\overline{x_1x_2y_2y_1}=x_1\cdot10^3+x_2\cdot10^2+y_2\cdot10+y_1$,试求所有这样的四位数,并写出解题过程. | 2022-04-17 19:29:57 |
20186 | 5cb93540210b28021fc758b6 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 平面上任取三个两坐标均为整数的点(格点),试证:他们不能是同一个正三角形三个顶点. | 2022-04-17 19:29:57 |
20185 | 5cb942f2210b28021fc758da | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 证明:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点且每段长为 $1$ 的闭折线,使得它的每个顶点的坐标都是有理数. | 2022-04-17 19:28:57 |
20184 | 5cb977af210b280220ed2203 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 已知四边形 $ABCD$ 为正方形,在 $D$ 处做线段 $DE=DC$,取 $CE$ 的中点 $F$,连结 $DF$ 与 $AE$ 相交于 $G$,连结 $BG$,已知 $CG=a$,求 $BG+DG$.![]() |
2022-04-17 19:28:57 |
20183 | 5cb97a39210b28021fc7591b | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 设 $x\in \mathbb{R}$,求证:$|\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}|<1.$ | 2022-04-17 19:28:57 |
20182 | 5cb97ab0210b280220ed220f | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 在 $\triangle ABC$ 的三条边 $BC,CA,AB$ 上分别取三点 $D,E,F$,使得 $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{AF}{FB}$,求证:$\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 有共同的重心. | 2022-04-17 19:27:57 |
20181 | 5cb97b30210b280220ed221b | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 设 $Q$ 为 $\triangle ABC$ 的内心,$BC=a,CA=b,AB=c$.证明:对任意一点 $P$,恒有 $a\cdot PA^2+b\cdot PB^2+c\cdot PC^2=a\cdot QA^2+b\cdot QB^2+c\cdot QC^2+(a+b+c)\cdot QP^2$. | 2022-04-17 19:27:57 |
20180 | 5cb97bd3210b280220ed2228 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 请设计一种方法将所有的整点染色.每一个整点染成白色,红色或黑色中的一种颜色,使得 (1)每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上; (2)对任意白点 $A$,红点 $B$,黑点 $C$,总可以找到一个红点 $D$,使得 $ABCD$ 为一平行四边形. |
2022-04-17 19:26:57 |
20179 | 5cb97d55210b280220ed222f | 高中 | 解答题 | 高中习题 | $P,Q$ 在 $\triangle ABC$ 的 $AB$ 边上,$R$ 在 $AC$ 边上,并且 $P,Q,R$ 将 $\triangle ABC$ 的周长 $3$ 等分,如图.证明:$\dfrac{S_{\triangle PQR}}{S_{\triangle ABC}}>\dfrac{2}{9}$.![]() |
2022-04-17 19:26:57 |