已知 $f(x)$ 是定义在 $[-1,1]$ 的奇函数，且 $f(1)=1$，对 $a,b\in[-1,1],a+b\ne0$，有 $\dfrac{f(a)+f(b)}{a+b}>0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
解不等式 $f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)<f\left(\dfrac{1}{x-1}\right)$；标注答案略解析设 $-1\leqslant x_1<x_2\leqslant 1$，则 $x_1-x_2\ne0,\dfrac{f(x_1)+f(-x_2)}{x_1+(-x_2)}>0$．由 $f(x)$ 是定义在 $[-1,1]$ 上的奇函数，有 $f(x_1)-f(x_2)=f(x_1)+f(-x_2)=\dfrac{f(x_1)+f(-x_2)}{x_1+(-x_2)}(x_1-x_2)<0.$ 所以 $f(x_1)<f(x_2)$．
进而得到 $f(x)$ 为 $[-1,1]$ 上的增函数．
（1）因为 $f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)<f\left(\dfrac{1}{x-1}\right)$，所以 $-1\leqslant x+\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{x-1}\le1$，解之得 $-\dfrac{3}{2}\leqslant x<-1$．所以原不等式的解集为 $\{x|-\dfrac{3}{2}\leqslant x<-1\}$． -
若 $f(x)\leqslant m^2-2am+1$ 对所有 $x\in[-1,1],a\in[-1,1]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．标注答案略解析因为 $f(x)$ 为 $[-1,1]$ 上的增函数，所以 $f(x)_{min}=f(1)=1$．依题设，对 $a\in[-1,1]$，不等式$$m^2-2am+1\geqslant f(1)=1,$$即 $2am-m^2\le0$ 恒成立．
设 $g(a)=2a\cdot a-m^2$，这是定义在[-1，1]上的一条直线段，于是有 $\begin{cases}m=0\\-m^2\le0.\end{cases}$ 或 $\begin{cases} m>0\\g(1)=2m^2\le0.\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}m<0\\g(-1)=-2m-m^2\le0.\end{cases} $
解之得，$ m=0 $ 或 $ m\ge2 $ 或 $ m\leqslant-2 $．
所以，$ m $ 的取值范围是 $ \{m|m\leqslant-2\lor m=0\lor m\ge2\}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
