$a,b,c\in\mathbb{R}$，已知方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两根实根，若 $|a(b-c)|>|b^2-ac|+|c^2-ab|$，求证：该方程在区间 $(0,2)$ 内至少有一个根．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题设知 $a\ne0$．因同时用 $-a,-b,-c$ 替换 $a,b,c$ 时，题设所有条件和结论均不改变，故不妨设 $a>0$．
因为 $|a(b-c)|>|b^2-ac|+|c^2-ab|$，且 $|b^2-ac|+|c^2-ab|\geqslant|(b^-ac)-(c^2-ab)|=|(b-c)(a+b+c)|$，
所以 $|b-c|\cdot|a+b+c|<a\cdot|b-c|$．
所以 $b\ne c$，且 $|a+b+c|<a$，即 $-a<a+b+c<a$，即 $b+c<0,2a+b+c>0$．
设 $f(x)=ax^2+bx+c$．易得 $f(0)=c,f(2)=4a+2b+c$．
当 $b<c$ 时，由 $(b^2-ac)+(c^2-ab)\leqslant|b^2-ac|+|c^2-ab|=|a(b-c)|=a(c-b)$
得 $b^2+c^2<2ac$，又由 $f(x)=0$ 有两个实根，有 $\Delta=b^2-4ac\ge0$．因此 $b^2\geqslant 4ac>2(b^2+c^2)$，即 $b^2+2c^2<0$，不可能，故 $b<c$ 不成立．
当 $b>c$ 时，由 $b+c<0$ 可得 $c<0$，此时 $f(0)=c<0$，又 $2a+b>2a+b+c>0$，所以 $f(2)=4a+2b+c>0$．从而由连续函数的性质知道，方程 $f(x)=0$ 在 $(0,2)$ 内至少有一个实根．
因为 $|a(b-c)|>|b^2-ac|+|c^2-ab|$，且 $|b^2-ac|+|c^2-ab|\geqslant|(b^-ac)-(c^2-ab)|=|(b-c)(a+b+c)|$，
所以 $|b-c|\cdot|a+b+c|<a\cdot|b-c|$．
所以 $b\ne c$，且 $|a+b+c|<a$，即 $-a<a+b+c<a$，即 $b+c<0,2a+b+c>0$．
设 $f(x)=ax^2+bx+c$．易得 $f(0)=c,f(2)=4a+2b+c$．
当 $b<c$ 时，由 $(b^2-ac)+(c^2-ab)\leqslant|b^2-ac|+|c^2-ab|=|a(b-c)|=a(c-b)$
得 $b^2+c^2<2ac$，又由 $f(x)=0$ 有两个实根，有 $\Delta=b^2-4ac\ge0$．因此 $b^2\geqslant 4ac>2(b^2+c^2)$，即 $b^2+2c^2<0$，不可能，故 $b<c$ 不成立．
当 $b>c$ 时，由 $b+c<0$ 可得 $c<0$，此时 $f(0)=c<0$，又 $2a+b>2a+b+c>0$，所以 $f(2)=4a+2b+c>0$．从而由连续函数的性质知道，方程 $f(x)=0$ 在 $(0,2)$ 内至少有一个实根．
答案
解析
备注
