平面上任取三个两坐标均为整数的点（格点），试证：他们不能是同一个正三角形三个顶点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法．设 $\triangle ABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$（$x_i,y_i$ 为整数，$i=1,2,3$）．则由$$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}$$的绝对值，知道三角形的面积是有理数；而由 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}AB^2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2]$
知正三角形的面积是无理数．这就得到矛盾．故坐标均为整数的三点不能组成正三角形．
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}$$的绝对值，知道三角形的面积是有理数；而由 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}AB^2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2]$
知正三角形的面积是无理数．这就得到矛盾．故坐标均为整数的三点不能组成正三角形．
答案
解析
备注
