在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A(x_1,y_1)$ 的点 $B(x_2,y_2)$ 的坐标均为一位正整数，$OA$ 与 $x$ 轴正方向的夹角大于 $45^{\circ}$，$OB$ 与 $x$ 轴正方向的夹角小于 $45^{\circ}$，$B$ 在 $x$ 轴上的射影为 $B^{\prime}$，$A$ 在 $y$ 轴上的射影为 $B^{\prime}$，$\triangle OB^{\prime}B$ 的面积比 $\triangle OA^{\prime}A$ 的面积大 $33.5$．由 $x_1,y_1,x_2,y_2$ 组成四位数 $\overline{x_1x_2y_2y_1}=x_1\cdot10^3+x_2\cdot10^2+y_2\cdot10+y_1$，试求所有这样的四位数，并写出解题过程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $\triangle OB^{\prime}B$ 与 $OA^{\prime}A$ 的面积关系有 $x_2y_2-x_1y_1=67$．
因为 $x_1>0,y_1>0$，所以 $x_2y_2>67$，又 $x_2,y_2$ 均为一位正整数，所以 $x_2y_2=8\times9=72$ 或 $x_2y_2=9\times9=81$．
由 $\angle BOB^{\prime}<45^{\circ}$，有 $x_2>y_2$，故 $x_2y_2\ne81$．从而 $x_2y_2=9\times8$，即 $x_2=9$，$y_2=8$．这样 $x_1y_1=x_2y_2-67=5$．又因为 $\angle AOB^{\prime}>45^{\circ}$，所以 $x_1<y_1$．而 $x_1,y_1$ 是一位正整数，故只能有 $x_1=1,y_1=5$．所以 $\overline{x_1x_2y_2y_1}=1985$．
因为 $x_1>0,y_1>0$，所以 $x_2y_2>67$，又 $x_2,y_2$ 均为一位正整数，所以 $x_2y_2=8\times9=72$ 或 $x_2y_2=9\times9=81$．
由 $\angle BOB^{\prime}<45^{\circ}$，有 $x_2>y_2$，故 $x_2y_2\ne81$．从而 $x_2y_2=9\times8$，即 $x_2=9$，$y_2=8$．这样 $x_1y_1=x_2y_2-67=5$．又因为 $\angle AOB^{\prime}>45^{\circ}$，所以 $x_1<y_1$．而 $x_1,y_1$ 是一位正整数，故只能有 $x_1=1,y_1=5$．所以 $\overline{x_1x_2y_2y_1}=1985$．
答案
解析
备注
