给定整数 $n\left( n\geqslant 3 \right)$，设 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{2n}}$ 是集合 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n \right\}$ 的两两不同的非空子集，记 ${{A}_{2n+1}}\text{=}{{A}_{1}}$ 。求 $\displaystyle \sum\limits_{i\text{=}1}^{2n}{\frac{\left| {{A}_{i}}\bigcap {{A}_{i+1}} \right|}{\left| {{A}_{i}} \right|\cdot \left| {{A}_{i+1}} \right|}}$ 的最大值。
【难度】
【出处】
2010第9届CGMO试题
【标注】
【答案】
$n$
【解析】
对任意的 $i$，若 $\left|{{A}_{i}}\bigcap {{A}_{i+1}} \right|\text{=}0$，则 $\frac{\left| {{A}_{i}}\bigcap{{A}_{i+1}} \right|}{\left| {{A}_{i}} \right|\cdot \left| {{A}_{i+1}}\right|}\text{=}0$ 。以下假设 $\left| {{A}_{i}}\bigcap {{A}_{i+1}} \right|\geqslant 1$ 。因 ${{A}_{i}}\bigcap{{A}_{i+1}}\subseteq {{A}_{i}}$ 及 ${{A}_{i}}\bigcap {{A}_{i+1}}\subseteq{{A}_{i+1}}$，所以 $\left| {{A}_{i}}\bigcap {{A}_{i+1}} \right|\leqslant \min \left(\left| {{A}_{i}} \right|\text{,}\left| {{A}_{i+1}} \right| \right)$ 。又 ${{A}_{i}}\ne{{A}_{i+1}}$ 及 $\left| {{A}_{i}}\bigcap {{A}_{i+1}} \right|\geqslant 1$，则 $\max \left(\left| {{A}_{i}} \right|\text{,}\left| {{A}_{i+1}} \right| \right)\geqslant 2$ 。故 $\displaystyle \sum\limits_{i\text{=}1}^{2n}{\frac{\left|{{A}_{i}}\bigcap {{A}_{i+1}} \right|}{\left| {{A}_{i}} \right|\cdot \left|{{A}_{i+1}} \right|}}\leqslant \sum\limits_{i\text{=}1}^{2n}{\frac{1}{\max \left(\left| {{A}_{i}} \right|\text{,}\left| {{A}_{i+1}} \right| \right)}}\leqslant\sum\limits_{i\text{=}1}^{2n}{\frac{1}{2}\text{=}n}$ 。上式等号是可以取到的，例如：${{A}_{1}}\text{=}\left\{1 \right\}$，${{A}_{2}}\text{=}\left\{ 1\text{,}2 \right\}$，$\cdots \cdots $ ${{A}_{2i-1}}\text{=}\left\{i \right\}$，${{A}_{2i}}\text{=}\left\{ i\text{,}i+1 \right\}$，$\cdots \cdots$ ${{A}_{2n-1}}\text{=}\left\{ n \right\}$，${{A}_{2n}}\text{=}\left\{n\text{,}1 \right\}$
答案
解析
备注
