设 ${{a}_{n}}\text{=}n\sqrt{5}-\left[ n\sqrt{5} \right]$ 。求数列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{2009}}$ 中的最大项和最小项，其中 $\left[ x \right]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。
【难度】
【出处】
2009第8届CGMO试题
【标注】
【答案】
最大项是 ${{a}_{1292}}$，最小项是 ${{a}_{1597}}$
【解析】
令 ${{b}_{0}}\text{=}0\text{,}{{b}_{1}}\text{=}1\text{,}{{b}_{n}}\text{=}\frac{{{\left(2+\sqrt{5} \right)}^{n}}-{{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{n}}}{2\sqrt{5}}$ 。特别地，${{b}_{6}}\text{=}1292\text{,}{{b}_{7}}\text{=}5473$ 。对任意的 $k\left(k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,5473} \right)$，存在唯一的整数 ${{x}_{k}}$、${{y}_{k}}$，使得 $1292k\text{=}{{x}_{k}}+5473{{y}_{k}}\left(1\leqslant {{x}_{k}}\leqslant 5473 \right)$ 。因为 $\left( 1292\text{,}5473 \right)\text{=}1$，所以 ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots\text{,}{{x}_{5473}}$ 为 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,5473}$ 的一个排列，且数列 $\left\{{{y}_{k}} \right\}$ 满足 ${{y}_{1}}\leqslant {{y}_{2}}\leqslant \cdots \leqslant{{y}_{5473}}\text{=}1291$ 。 令 $f\left( x \right)\text{=}x-\left[ x \right]$ 。于是，$f\left( {{x}_{k}}\sqrt{5}\right)\text{=}f\left( \left( 1292k-5473{{y}_{k}} \right)\sqrt{5}\right)\text{=}f\left( \frac{{{\left( 2+\sqrt{5} \right)}^{6}}-{{\left(2-\sqrt{5} \right)}^{6}}}{2}k-\frac{{{\left( 2+\sqrt{5} \right)}^{7}}-{{\left(2-\sqrt{5} \right)}^{7}}}{2}{{y}_{k}} \right)\text{=}f\left( -{{\left(2-\sqrt{5} \right)}^{6}}k+{{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{7}}{{y}_{k}} \right)$ 又 $0$ < ${{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{6}}k-{{\left( 2-\sqrt{5}\right)}^{7}}{{y}_{k}}\leqslant 5473{{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{6}}-1291{{\left(2-\sqrt{5} \right)}^{7}}$ < $1$，得到 $f\left( {{x}_{k}}\sqrt{5} \right)\text{=}1-{{\left( 2-\sqrt{5}\right)}^{6}}k+{{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{7}}{{y}_{k}}$ 是单调递减的。又因为 ${{x}_{1}}\text{=}1292$，${{x}_{5473}}\text{=}5473$，${{x}_{5472}}\text{=}4181$，${{x}_{5471}}\text{=}2889$，${{x}_{5470}}\text{=}1597$ 故所求最大项是 ${{a}_{1292}}$，最小项是 ${{a}_{1597}}$ 。
答案
解析
备注
