已知 $f\left( x \right)\text{,}g\left( x \right)$ 都是定义在 $\mathbb{R}$ 上的递增的一次函数，$f\left( x \right)$ 为整数当且仅当 $g\left( x \right)$ 为整数。证明：对一切 $x\in \mathbb{R}$，$f\left( x \right)-g\left( x \right)$ 为整数。
【难度】
【出处】
2010第9届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
若不然，由对称性不妨设 $a$ > $c$ 。由 $f\left(-\frac{b}{a} \right)\text{=}0$，知 $g\left( -\frac{b}{a} \right)$ 是整数；由 $f\left(-\frac{b-1}{a} \right)\text{=1}$，知 $g\left( -\frac{b-1}{a} \right)$ 是整数。故 $g\left(-\frac{b}{a} \right)-g\left( -\frac{b-1}{a} \right)=\left[ c\left( -\frac{b}{a}\right)+d \right]-\left[ c\left( -\frac{b-1}{a} \right)+d \right]=-\frac{c}{a}$ 是一个整数，但这与 $a$ > $c$ > $0$ 矛盾。所以 $a\text{=}c$ 。又 $f\left(-\frac{b}{a} \right)\text{=}0$，故 $g\left( -\frac{b}{a} \right)=d-b$ 是整数。因此，对任意的 $x\in\mathbb{R}$，$f\left( x \right)-g\left( x \right)\text{=}b-d$ 是整数。
答案
解析
备注
