求出所有的正整数 $\text{n}$，使得关于 $\text{x},y$ 的方程 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$ 恰有2011组满足 $\text{x}\leqslant \text{y}$ 的正整数解。
【难度】
【出处】
2011第10届CGMO试题
【标注】
【答案】
$n={{p}^{2010}}$（$p$ 是质数）
【解析】
由题设得 $xy-nx-ny=0\Rightarrow(x-n)(y-n)={{n}^{2}}$ 。所以除了 $x=y=2n$ 外，$x-n$ 取 ${{n}^{2}}$ 的小于 $n$ 的正约数，就可以得到一组满足条件的正整数解 $(x,y)$ 。故 ${{n}^{2}}$ 的小于 $n$ 的正约数的个数恰好为 $2010$ 。设 $n={{p}_{1}}^{{{\alpha}_{1}}}{{p}_{2}}^{{{\alpha }_{2}}}\cdots {{p}_{k}}^{{{\alpha }_{k}}}$，其中 ${{p}_{1}},{{p}_{2}},\cdots ,{{p}_{k}}$ 是互不相同的质数，${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},\cdots ,{{\alpha }_{k}}$ 是非负整数。则 ${{n}^{2}}$ 的小于 $n$ 的正约数的个数为 $\frac{(2{{\alpha }_{1}}+1)(2{{\alpha }_{2}}+1)\cdots (2{{\alpha}_{k}}+1)-1}{2}$ 。故 $(2{{\alpha }_{1}}+1)(2{{\alpha}_{2}}+1)\cdots (2{{\alpha }_{k}}+1)=4021$ 。因为 $4021$ 是质数，所以，$k=1$，${{\alpha }_{1}}=2010$ 。故 $n={{p}^{2010}}$（$p$ 是质数）。
答案
解析
备注
