（1）问能否将集合 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,96} \right\}$ 表示为它的 $32$ 个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；（2）问能否将集合 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}99 \right\}$ 表示为它的 $33$ 个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等
【难度】
【出处】
2008第7届CGMO试题
【标注】
【答案】
（1）不能。（2）能
【解析】
（1）不能。因为 $32\nmid\left( 1+2+\cdots +96 \right)\text{=}48\times 97$ 。（2）能。每个三元子集的元素和为 $\frac{1+2+\cdots+99}{33}\text{=}\frac{99\times \left( 99+1 \right)}{33\times 2}\text{=}150$ 。将 $1\text{,}2\text{,}\cdots\text{,}66$ 每两个一组，分成 $33$ 组，每组两数之和可以排成一个公差为 $1$ 的等差数列：$1+50\text{,}3+49\text{,}\cdots\text{,}33+34\text{,}2+66\text{,}4+65\text{,}\cdots \text{,}32+51$ 故下 $33$ 组数，每组三个数之和均相等：$\left\{ 1\text{,}50\text{,}99 \right\}\text{,}\left\{ 3\text{,}49\text{,}98\right\}\text{,}\cdots \text{,}\left\{ 33\text{,}34\text{,}83 \right\}\text{,}\left\{2\text{,}66\text{,}82 \right\}\text{,}\left\{ 4\text{,}65\text{,}81\right\}\text{,}\cdots \text{,}\left\{ 32\text{,}51\text{,}67 \right\}$
答案
解析
备注
