设 $a,b,c,d$ 是正数，证明：
（1）$\dfrac{a+b+c}{3}\geqslant \sqrt[3]{abc}$；
（2）$\dfrac{a+b+c+d}{4}\geqslant \sqrt[4]{abcd}$．
（1）$\dfrac{a+b+c}{3}\geqslant \sqrt[3]{abc}$；
（2）$\dfrac{a+b+c+d}{4}\geqslant \sqrt[4]{abcd}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们先证明（2），因为 $a,b,c,d$ 都是正数，所以$$\dfrac{a+b}{2}\geqslant \sqrt{ab},\dfrac{c+d}{2}\geqslant \sqrt{cd}$$，所以 $\dfrac{a+b+c+d}{4}\geqslant \sqrt[4]{abcd}$，上述非严格不等式同时取等的充要条件是$$\begin{cases}
a=b(>0)\\
c=d(>0)\\
\sqrt{ab}=\sqrt{cd}
\end{cases}$$．
解得，$a=b=c=d$，这就是不等式（2）取等的充要条件．
（1）应用不等式（2）证明不等式（1），
因为 $a,b,c>0$，所以$$\dfrac{a+b+c+\sqrt[3]{abc}}{4}\geqslant \sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}=\sqrt[3]{abc}$,
即$$\dfrac{a+b+c}{3}\geqslant \sqrt[3]{abc} $$，
其中等号成立的充要条件为 $a=b=c=\sqrt[3]{abc}(>0)$，即 $a=b=c$．
a=b(>0)\\
c=d(>0)\\
\sqrt{ab}=\sqrt{cd}
\end{cases}$$．
解得，$a=b=c=d$，这就是不等式（2）取等的充要条件．
（1）应用不等式（2）证明不等式（1），
因为 $a,b,c>0$，所以$$\dfrac{a+b+c+\sqrt[3]{abc}}{4}\geqslant \sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}=\sqrt[3]{abc}$,
即$$\dfrac{a+b+c}{3}\geqslant \sqrt[3]{abc} $$，
其中等号成立的充要条件为 $a=b=c=\sqrt[3]{abc}(>0)$，即 $a=b=c$．
答案
解析
备注
