设正实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2<2(a+b+c)$．证明：$$3abc<4(a+b+c).$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由柯西不等式有 $(a+b+c)^2\leqslant (1+1+1)(a^2+b^2+c^2)$，于是，由已知条件可得
$\begin{align}
3abc&\leqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{9}=\dfrac{(a+b+c)(a+b+c)^2}{9}\\
&\leqslant \dfrac{(a+b+c)(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)}{9}\\
&<\dfrac{(a+b+c)\cdot2(a+b+c)}{3}=\dfrac{2}{3}(a+b+c)^2\\
&\leqslant \dfrac{2}{3}(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)\\
&<4(a+b+c)\\
\end{align}$
$\begin{align}
3abc&\leqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{9}=\dfrac{(a+b+c)(a+b+c)^2}{9}\\
&\leqslant \dfrac{(a+b+c)(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)}{9}\\
&<\dfrac{(a+b+c)\cdot2(a+b+c)}{3}=\dfrac{2}{3}(a+b+c)^2\\
&\leqslant \dfrac{2}{3}(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)\\
&<4(a+b+c)\\
\end{align}$
答案
解析
备注
