设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 都是正数，求证：$$\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_3}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}+\dfrac{x_n^2}{x_1}\geqslant x_1+x_2+\cdots+x_n.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $x_1,x_2,\cdots,x_n>0$，由均值不等式，有 $\dfrac{x_1^2}{x_2}+x_2\geqslant 2\sqrt{\dfrac{x_2}{x_2}\cdot x_2}=2x_1$，$\dfrac{x_2^2}{x_3}+x_3\geqslant 2x_3$，$\cdots$，$\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}+x_n\geqslant 2x_{n-1}$，$\dfrac{x_n^2}{x_1}+x_1\geqslant 2x_n$，
把这 $n$ 个不等式分别相加并且化简，得到$$\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_3}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}+\dfrac{x_n^2}{x_1}\geqslant x_1+x_2+\cdots+x_n.$$
把这 $n$ 个不等式分别相加并且化简，得到$$\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_3}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}+\dfrac{x_n^2}{x_1}\geqslant x_1+x_2+\cdots+x_n.$$
答案
解析
备注
