已知集合 $S_n=\{X\mid X=(x_1,x_2,\cdots,x_n),x_i\in \{0,1\},i=1,2,\cdots,n\}$（$n\geqslant 2$）．对于\[A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in S_n,B=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in S_n,\]定义 $A$ 与 $B$ 的差为\[A-B=\left(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\cdots,|a_n-b_n|\right),\]$A$ 与 $B$ 之间的距离为\[d(A,B)=\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|.\]
【难度】
【出处】
2015年清华大学金秋营数学基础试题
【标注】
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对任意 $A,B,C\in S_n$，证明：$d(A-C,B-C)=d(A,B)$，且 $d(A,B),d(B,C),d(C,A)$ 三个数中至少有一个是偶数；标注答案略解析无
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设 $P\subseteq S_n$，$P$ 中有 $m$（$m\geqslant 2$）个元素，记有 $P$ 中所有两元素距离的平均值为 $\overline d(P)$，证明：$\overline d(P)<\dfrac{mn}{2(m-1)}$；标注答案略解析无
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当 $n=3$ 时，若 $M$ 满足：$M\subseteq S_3$ 且 $M$ 中元素间的距离均为 $2$，试写出含有元素个数最多的所有集合 $M$．标注答案略解析无
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
