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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27594 59378d7ac2b4e70007c940d2 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y,z\in (0,1)$，求证：$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1$． 2022-04-17 21:44:05
27585 59083eff060a05000980b03b 高中 解答题 高中习题 设正数 $x,y,z$ 满足 $x^2+y^2+z^2=1$，求证：$\dfrac{xy}z+\dfrac{yz}x+\dfrac{zx}y\geqslant \sqrt 3$． 2022-04-17 21:37:05
27584 59083f28060a05000a4a9862 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，求证：$\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\leqslant \dfrac{1}{abc}$． 2022-04-17 21:37:05
27583 59083fb1060a05000bf291ba 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\in\mathbb R$，求证：$$\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}\geqslant\sqrt{3a^2+(a+b+c)^2},$$并指出等号取得的条件． 2022-04-17 21:36:05
27581 59084986060a050008e622df 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b>0$，求证：$\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}\geqslant \dfrac{1}{1+ab}$． 2022-04-17 21:35:05
27534 5940ad26c8f8b90009611580 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z>0$，且 $x+y+z=1$，求证：$$\dfrac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\dfrac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\dfrac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\leqslant \dfrac{\sqrt 2}2.$$ 2022-04-17 21:11:05
27528 59093a36060a050008cff44c 高中 解答题 高中习题 已知 $a_1,a_2,\cdots ,a_n>0$ 且 $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$，求证：$$\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac{1}{1+a_1+a_2}+\cdots +\dfrac{1}{1+a_1+a_2+\cdots +a_n}<\sqrt{\dfrac 12\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_n}\right)}.$$ 2022-04-17 21:07:05
27521 5909490e060a05000970b357 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 为实数，证明：对任意实数 $x$ 都有 $(x-a)^2+(x-b)^2\geqslant c$ 当且仅当 $(a-b)^2\geqslant 2c$． 2022-04-17 21:04:05
27491 59095678060a05000b3d2010 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 是一个三角形的三边长，求证：$$\left(\dfrac{a+b+c}{b+c-a}-1\right)\left(\dfrac{a+b+c}{c+a-b}-1\right)\left(\dfrac{a+b+c}{a+b-c}-1\right)\geqslant 8.$$ 2022-04-17 21:46:04
27490 59096c7139f91d0009d4bf7c 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c>0$，且满足 $abc=1$，求证：$\left(a-1+\dfrac 1b\right)\left(b-1+\dfrac 1c\right)\left(c-1+\dfrac 1a\right)\leqslant 1$． 2022-04-17 21:45:04
27489 59096c9b39f91d000a7e44a7 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，且满足 $a+b+c=1$，求证：$a^3+b^3+c^3\geqslant \dfrac{a^2+b^2+c^2}3$． 2022-04-17 21:44:04
27488 59096cc239f91d0009d4bf80 高中 解答题 高中习题 若 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=abc$，求证：$$\dfrac{b+c}a+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}c\geqslant 2\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)^2.$$ 2022-04-17 21:44:04
27484 5909706e39f91d0007cc92f6 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y,z>0$，且 $xy+yz+zx=1$，求证：$$xyz(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant \left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right).$$ 2022-04-17 21:41:04
27483 590973ba39f91d0007cc9313 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b>0$，求证：$\dfrac{4(1+a)(1+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)}\leqslant 3\sqrt 3$． 2022-04-17 21:41:04
27473 59439105a26d28000bb86e53 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\geqslant 2$）是实数，证明：可以选取 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}$，使得\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).\] 2022-04-17 21:34:04
27471 59489717d37330000a165897 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${x_1}{x_2} \cdots {x_n} = 1$，${x_i} > 0$，$i = 1,2, \cdots ,n$，求证：\[\left( {\sqrt 2 + {x_1}} \right)\left( {\sqrt 2 + {x_2}} \right) \cdots \left( {\sqrt 2 + {x_n}} \right) \geqslant {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}.\] 2022-04-17 21:33:04
27466 5909751c39f91d0007cc9325 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，三边长为 $a,b,c$，求证：$$4b^3c^3\geqslant (b+c)^2(-a+b+c)^2(a-b+c)(a+b-c).$$ 2022-04-17 21:30:04
27465 5909755139f91d0008f04fbc 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，证明：$\displaystyle \sum\limits_{cyc}\sqrt{\left(a^2+ab+b^2\right)\left(b^2+bc+c^2\right)}\geqslant (a+b+c)^2$． 2022-04-17 21:29:04
27461 5909841f39f91d0008f05039 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $0<a_n<1$，求证：$$a_1(1-a_1)+(a_2-a_1)(1-a_2)+(a_3-a_2)(1-a_3)+\cdots +(a_n-a_{n-1})(1-a_n)<\dfrac 12.$$ 2022-04-17 21:27:04
27452 5909886f39f91d000a7e4572 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，求证：$\dfrac{a^3}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2-ca+a^2}<\dfrac 54(a+b+c)$． 2022-04-17 21:21:04
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