已知 $a,b,c\in\mathbb R$，求证：$$\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}\geqslant\sqrt{3a^2+(a+b+c)^2},$$并指出等号取得的条件．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据三角不等式，有$$\begin{split} LHS=&\sqrt{\dfrac 34a^2+\left(b+\dfrac 12a\right)^2}+\sqrt{\dfrac 34a^2+\left(c+\dfrac 12a\right)^2}\\\geqslant &\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt 3}2a+\dfrac{\sqrt 3}2a\right)^2+\left(b+\dfrac 12a+c+\dfrac 12a\right)^2}\\=&RHS,\end{split}$$等号取得的条件为向量 $\left(\dfrac{\sqrt 3}2a,b+\dfrac 12a\right)$ 与向量 $\left(\dfrac{\sqrt 3}2a,c+\dfrac 12a\right)$ 同向，也即$$\begin{cases} a=0,\\bc\geqslant 0,\end{cases}\lor\begin{cases} a\neq 0,\\b-c=0.\end{cases}$$
答案
解析
备注
