设 $a,b,c$ 为实数，证明：对任意实数 $x$ 都有 $(x-a)^2+(x-b)^2\geqslant c$ 当且仅当 $(a-b)^2\geqslant 2c$．
【难度】
【出处】
2016年北京大学全国优秀中学生暑期夏令营试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
对题中不等式整理得$$2x^{2}-2(a+b)x+(a^{2}+b^{2}-c)\geqslant 0,$$此不等式恒成立当且仅当对应判别式$$\Delta =4(a+b)^{2}-8(a^{2}+b^{2}-c)=4[2c-(a-b)^{2}]\leqslant 0,$$等价于 $2c\leqslant (a-b)^{2}$，命题得证．
答案
解析
备注
